Условия существования определенного интеграла. Посадки, зазоры, натяги, допуски, посадка на горячую, соединения деталей, система вала и отверстия, обозначения
Теорема 8 (достаточное условие интегрируемости). Если функция ¦(x) непрерывна в промежутке , то она интегрируема на этом промежутке, т.е. существует интеграл . Определение 6. Пусть функция ¦(x) определена в промежутке . Разобьем этот промежуток на произвольных частей точками . В каждом из полученных частных промежутков , где , выберем произвольную точку . Вычислим значение функции и умножим его на разность . После этого составим сумму Римана , (1) (иногда её называют интегральной суммой) Определение. Функция , для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция , определенная на , интегрируема на этом отрезке? Не приводя доказательств, рассмотрим эти условия.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.Теорема 2. Если функция ограничена на и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
16)Свойства определенного интеграла
I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.
II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.
III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.
IV. Если промежуток интегрирования разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке , равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.
17. Основная теорема анализа (теорема Барроу).
| Пусть и непрерывна в . Тогда дифференцируема в этой точке и её производная равна . |
| Доказательство: |
| Приращение при в силу непрерывности в точке выполняется Рассмотрим . По первому утверждению получаем Устремляя , получаем |
18. Формула Ньютона – Лейбница.
Теорема 10(формула Ньютона – Лейбница). Если – какая-либо первообразная функции ¦(x), то справедлива формула .
Доказательство.
Раз - тоже первообразная для ¦(x ), то выберем за первообразную . Это равенство является справедливым для любого . Выберем . Тогда . Теперь . . Значит .
Правило. Значение определенного интеграла от непрерывной функции равно разности значений любой первообразной для нее при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Пример 19. Найти интегралы , , .
Решение. ; ;
19. Метод Остроградского.
Иногда при интегрировании правильной рациональной дроби используют метод, суть которого состоит в выделении рациональной части первообразной.
Пусть имеет кратные корни (включая и комплексные). Составим многочлен так, чтобы все его корни его были простые, и каждый корень являлся бы корнем многочлена . Тогда , где корни есть корни многочлена с кратностями на единицу меньше. В частности, все простые корни будут корнями и не будут корнями .
Справедливо соотношение (1) , где и - многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней многочленов и . Неопределенные коэффициенты многочленов и вычисляются при помощи дифференцирования равенства (1) . Обычно метод Остроградского применяется, если многочлен имеет несколько корней большой кратности.
Пример 18. Вычислить .
Решение. Полагаем . Дифференцируя это равенство, получаем
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства (2).
Следовательно, .
20. Интегрирование функций вида , где рациональная функция.
Выделяя из рациональной дроби целую часть – многочлен , т.е. и представляя дробь в виде сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функции приводится к вычислению интегралов следующих типов:а). , -многочлен. б). , –константа. в). , - константы и трехчлен не имеет действительных корней
21. Интеграл вида подстановкой приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте. Дифференцируя это тождество, имеем
Откуда . Для нахождения неопределенных коэффициентов и запишем систему уравнений, приравняв коэффициенты при соответствующих степенях
Откуда . Следовательно,
Рассмотрим вычисление интеграла. Предположим сначала, что , тогда . Поскольку , то . Первый из полученных интегралов является табличным. Для вычисления интеграла применяется подстановка Абеля . В общем случае, в интеграле делают замену переменного так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли слагаемые с первой степенью. Это достигается, например, с помощью дробно-линейной подстановки , если и , если . В результате получим интеграл . Представим его в виде . К первому из этих интегралов применяем подстановку , а ко второму – подстановку .
23. Несобственные интегралы.
Определённый интеграл называется несобственным , если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий.
Если интервал конечный, и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает с значением определённого интеграла.
Множество действительных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.
Определение 1. Множеством действительных чисел называется совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: .
Определение 2. Действительным числом называется любая бесконечная периодическая или непериодическая дробь.
Действительные числа изображаются точками на числовой прямой и заполняют всю прямую без "дыр". Множество непрерывно.
Свойство непрерывности R.
Пусть 
– произвольные множества из и и выполняется . Тогда и выполняется .
1. Модуль действительного числа и его свойства
Определение. Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, обозначаемое |а |, определяемое формулой:
Геометрический смысл модуля
: | | –расстояние от точки 0 до точки а
на числовой оси.
Из определения модуля вытекают его свойства.
Cвойства модуля:
2 . -|а| а |а|.
3 . b 0 неравенство |х| b равносильно -b х b (при b<0 неравенство |х| bне верно ни при каком х).
4 . b 0 |х|³bÛ (если b<0, то неравенство верно для любого х).
5 . (Неравенство треугольника) |а+b| |а|+|b|
6 . |а-b| |а|+|b|
7 . |а-b|³|а|-|b|
8 .|а+b|³|а|-|b|
9 . 
10 
.
.
12 . 1) 
2) 
2. Числовое множество. Примеры числовых множеств. Окрестности. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Достаточное условие существования верхней (нижней) грани множества.
Определение.
Числовое множество – множество, элементами которого являются действительные числа.
Примеры числовых множеств.
1) Отрезок (сегмент, замкнутый промежуток) .
2) Интервал (открытый промежуток) .
3) Полуинтервалы
1)-3) называются промежутками и обозначаются .
4) Бесконечные промежутки:
, 
,
, 
вся числовая прямая.
4. Окрестность точки
Пусть 
.
Определение 1. Окрестностью точки а называется произвольный интервал, содержащий точку а . Обозначается V(a ).
Определение 2. - окрестностью точкиа называется интервал с центром в точке а ирадиусом . Обозначается V(a ;e ).
V(a
;e
)=(a-e;a+e
) или V(a
;e
)= , V(a
;e
)= 
.
У каждой точки существует бесконечно много - окрестностей.
Определение 3. Проколотой - окрестностью точки а называется
- окрестность без точки а . Обозначается
. 
= 
.
Определение 4.
– -окрестность точки + ,
– -окрестность точки - ,
- -окрестность точки .
Определение 5. Односторонние окрестности точки а:
–левая проколотая -
окрестностьточкиа
,
–
праваяпроколотая -
окрестностьточки а.
В дальнейшем будем рассматривать только - окрестности. Будем называть их просто окрестностями.
Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств
ПустьЕ – произвольное числовое множество, .
Определение 1.
Число называется наименьшим (наибольшим) элементом множестваЕ
, если выполняется 
. Если Е
имеет наибольший (наименьший) элемент, то он принадлежит множеству .
Определение 2.
МножествоЕ
называется ограниченным сверху,
если 
выполнено .
Определение 3. Число b называется верхней границей множества Е , если .
Очевидно, что если b – верхняя граница множестваЕ , то любое число, большее b , также будет верхней границей множества Е. Таким образом, ограниченное сверху множество имеет множество верхних границ.
Пример 1.
ограничено сверху. Одна из верхних границ – число 3. И любое число большее, чем 3 является верхней границей. Например, 
выполнено .
Определение 4.
МножествоЕ
называется ограниченным снизу,
если 
выполнено .
Определение 4.1. Число а называется нижней границей множества Е, если .
Определение 5.
МножествоЕнеограниченно сверху,
если 
.
Определение 6.
Множество Енеограниченно снизу,
если 
: .
Определение 7.
МножествоЕ
называется ограниченным,
если оно ограничено и сверху, и снизу, то есть 
выполнено .
Определение 7 .
МножествоЕ
называется ограниченным,
если 
выполнено .
Замечание. Определения 7 и 7 эквивалентны (равны).
8.
Множество называется неограниченным,
если 
: .
Определение 9.
Верхней гранью
множестваЕ
(или точной верхней границей
множества Е
) называется наименьшая из всех верхних границ множества Е.
Обозначается 
(супремум) или 
.
Определение 9 .
1) выполнено ,
Условие 2) можно заменить: .
Определение 10. Нижней гранью множества Е (или точной нижней границей множества Е ) называется наибольшая из всех нижних границ множества Е.
Обозначается m
=infE
(инфимум) или 
.
infE может как принадлежать так и не принадлежатьмножеству E .
Определение 10 .
1) выполнено ,
Условие 2) можно заменить: .
Условие 1) означает, что число m является нижней границей.
Условие 2) означает, что число m является наибольшей из нижних границ (то есть её нельзя увеличить).
Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань. Всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.
Определение 11.
Если множествоЕ
не ограничено сверху, то 
. Если множество Е
не ограничено снизу, то 
3. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности.
Определение 1.
Если каждому натуральному числу n
по некоторому правилу поставить в соответствие некоторое число x n
, то говорят, что определена числовая последовательность
Её обозначают: или .
Определение 2.
ограниченнойсверху(снизу)
, если 
выполняется 
.
Определение 3.
Последовательность называется неограниченной сверху (снизу)
, если >k ( Определение 4.
Последовательность называется ограниченной
, если Определение 5.
Последовательность называется неограниченной
, если Определение 6.
Последовательность называется возрастающей (убывающей)
, если выполнено (). Определение 7.
Последовательность называется невозрастающей (неубывающей)
, если выполнено (). Определение 8.
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями. 4.
Предел числовой последовательности, его геометрический смысл. Стационарная последовательность и ее предел. Единственность предела последовательности.
Пусть дана последовательность : Определение 1.
Числоа
называется пределом последовательности
, если выполнено Обозначается: Если последовательность имеет предел а
, то она называется сходящейся
ка
. Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся
. Определение 2.
Последовательность называется сходящейся,
если выполнено Геометрический смысл предела последовательности
Числоа
является пределом последовательности , если в любой e
– окрестности точки а
находятся все члены последовательности, начиная с некоторого (не принадлежит этой окрестности лишь конечное число членов). Стационарная последовательность
- пос-ть, у которой все ее члены равны одному и тому же числу. ЕЕ предел равен этому числу. Теорема 1.
Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство. (От противного)Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела Обозначим Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа (его можно брать сколь угодно малым), следовательноb-а
=0 и значит, а=b
. 5.Необходимое условие сходимости последовательности.
Теорема о связях между последовательностями и их пределами (предельный переход в неравенствах, теорема о пределе промежуточной последовательности).
Теорема 2.
(Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Доказательство.
Пусть сходящаяся последовательность, то есть Значит, выполнено Обозначим М
= . Тогда "n
выполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена. Теорема 4.
(предельный переход в неравенствах) Если Отметим
, что из строгого
неравенства не следует
строгое, а следует нестрогое
: Теорема 5.
(О пределе промежуточной последовательности) Пусть , , – последовательности, удовлетворяющие условию Если 6.
Понятие бесконечно малой последовательности, геометрический смысл. Свойства бесконечно малой последовательности.
Определение 1.
Последовательность называется бесконечно малой (БМП), если . Это означает, что выполнено . Геометрический смысл
. Геометрически это означает, что в любой (сколь угодно малой) окрестности нуля находятся все члены последовательности , начиная с некоторого номера . Теорема 1.
Сумма любого конечного числа БМП есть БМП. Теорема 2.
Произведение БМП на ограниченную последовательность есть БМП. Из теоремы 1 и 2 вытекают следствия. Следствие 1.
Если БМП, , то – БМП. Следствие 2.
Разность двух БМП есть БМП. Следствие 3.
Произведение двух БМП есть БМП. Следствие 4.
Произведение БМП и сходящейся последовательности есть БМП. Замечание 1.
Случай произведения 2-х БМП последовательностей можно обобщить для любого конечного числа БМП. Замечание 2.
Для частного двух БМП аналогичное утверждение не верно, то есть если , – БМП, то может и не быть БМП. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (через бесконечно малую последовательность).
Теорема 3.
(Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) Доказательство. 1) Необходимость. Пусть По определению предела выполнено Следовательно, для последовательности имеем: выполнено . Значит, - БМП Þ 2) Достаточность. Пусть По определению предела выполнено . Так как 8.
Понятие бесконечно большой последовательности. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями.
Определение 1.
Последовательность называется бесконечно большой
, если выполняется . Для обозначения ББП используется запись Теорема 1
. 1) Если – ББП, причем 2) если – БМП и то – ББП. 9.Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного сходящихся последовательностей.
. Неопределенности вида
, , , . Примеры.
1. Частное
. 1) , 2) , 3) 4) Отношение двух БМП
. Это отношение может иметь предел (конечный или бесконечный), а может и не иметь предела в зависимости от конкретного способа задания последовательностей и . Поэтому отношение двух БМП называется неопределенностью вида
.
Если предел отношения найден или доказано, что он не существует, то говорят, что неопределенность раскрыта
. – отношение двух ББП
– неопределенность вида
. 2. Сумма
. 1) 2) 3) 3. Произведение
. 1) 2) , 3) , 1.
2.
3. 10.
Понятие невозрастающей и неубывающей последовательности. Верхняя и нижняя грани последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
Определение 1.
Верхней гранью
последовательности называется верхняя грань множества значений элементов этой последовательности. Обозначается. Если множество значений элементов последовательности ограничено сверху, то есть число: Определение 2.
Нижней гранью
последовательности называется нижняя грань множества значений этой последовательности. Обозначается infx n
. Если множество значений элементов последовательности ограничено снизу, то Теорема 1.
1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. 2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел. Доказательство. 1) - ограниченная сверху Докажем, что Выберем . Тогда по определению 1" для этого e
выполняется два условия: Так как - неубывающая, то Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит, выполнено . Т. е. Þ . Итак, : выполняется Заметим, что из условия 1) следует, что . 2) Доказывается аналогично. Устанавливается, что 11
.Определение предела функции по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Геометрический смысл предела функции.
Определение 1(по Гейне).
ЧислоА
называется пределом функции f(x) в точке а
(или при х
®а)
, если для любой последовательности (х n
) точек из , сходящейся к а
, соответствующая последовательность значений функции (f
(x n
)) сходится к числу А
. Обозначается Таким образом, Это определение называют определением предела “на языке ”. Так как неравенство 0< < означает, что , а неравенство Теорема.
Определения предела по Гейне и по Коши эквивалентны. Итак, геометрический смысл предела функции состоит в следующем. ЧислоА
является пределом функции f
в точке а
, если для любой, сколь угодно малой, e
- окрестности точки А
найдется d
- окрестность точки а
, такая что для всех х
соответствующие значения функции 12.
Односторонние пределы функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (через односторонние пределы).
Односторонние пределы
Рассмотрим понятие предела функции при стремлении к точке справа или слева. При этом заменяется на Обозначим через левую окрестность точки а
, – правую окрестность точки а
. Определение 1.
(по Гейне) Число A
называется левым
(правым
) пределомфункцииf
(x
) в точкеa
, если , соответствующая последовательность значений функции (f
(x n
)) сходится к A
.Определение 2.
(по Коши) ЧислоА
называется левым
(правым
) пределом функции f
(x
) в точкеа
, если : : a-d Обозначается Определение 1 и определение 2 эквивалентны.Правый и левый предел функции в точке называются односторонними пределами в точке
. Теорема.
Для того, чтобы функция f
имела предел в точке a
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а
: Доказательство. 1) Необходимость. И 2)Достаточность. Пусть существуют односторонние пределы, равные А
. Возьмем . Тогда согласно определению 2 : : : : Выберем : : 13.Теорема о единственности предела функции.
Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке.
Теорема 1.
(Единственность предела). Любая функция в точке может иметь только один предел. Доказательство. Пусть Возьмем (x n
): x n a
. Рассмотрим (f
(x n
)). По определению предела функции по Гейне Полученное противоречие доказывает теорему. Теорема 2.
Если 14.
Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного функции.
Теорема 4.
Пусть 1) 2) Тогда Теорема 5.
Пусть Тогда : : Теорема 6.
Если Теорема 7.
(Предельный переход в неравенствах) Пусть Теоремы, связанные с арифметическими операциями над пределами
Теорема 8.
Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки а
и Доказательство. Докажем для суммы, остальное – аналогично. Возьмём Получили, что 15.
Виды неопределенностей. Примеры. Теорема о пределе сложной функции.
Бесконечные пределы и неопределенности
(дополнения к теореме 8 §6) 1. 2. 3. 4. Две или несколько неподвижно или подвижно соединяемых деталей называют сопрягаемыми. Поверхности, по которым происходит соединение деталей, называют сопрягаемыми поверхностями. Остальные поверхности называются несопрягаемыми (свободными). В соединениях деталей различают охватывающие и охватываемые поверхности. Охватывающей поверхностью называется элемент детали с внутренней сопрягаемой поверхностью (отверстие). Охватываемой поверхностью называется элемент детали с наружной сопрягаемой поверхностью (вал). Понятия охватываемая и охватывающая поверхности дают более общее определение понятий "вал" и "отверстие". По форме этих поверхностей различают следующие основные виды соединений: гладкие цилиндрические; гладкие конические; плоские, в которых охватывающие и охватываемые поверхности образованы плоскостями (например, пазы столов металлорежущих станков); резьбовые различной формы, профиля, назначения; шлицевые; шпоночные; зубчатые передачи. Посадка - характер соединения двух деталей, определяемый разностью их размеров до сборки. Существуют три разновидности посадок, которые получили название: посадки с зазором; посадки с натягом и переходные посадки. Посадка с зазором - посадка, при которой всегда образуется зазор в соединении, т. е. наименьший предельный размер отверстия больше наибольшего предельного размера вала или равен ему. Зазор 5 - это разность между размером отверстия (О) и вала (а1) до сборки, если размер отверстия больше размера вала (рис. 5.5), т. е. Из формулы (5.9) следует, что для этой разновидности посадок размер отверстия всегда больше или равен размеру вала. Для посадок с зазором характерно то, что поле допуска отверстия располагается выше поля допуска вала. Рис. 5.5. Так как размеры вала и втулки могут изменяться в пределах поля допуска, то величина зазора определяется действительными размерами соединяемых деталей. Наибольший зазор 5тах - это разность между наибольшим предельным размером отверстия и наименьшим предельным размером вала (рис. 5.6, а), т. е. Наименьший зазор - это разность между наименьшим предельным размером отверстия и наибольшим предельным размером вала (рис. 5.6, а), т. е. В частном случае наименьший зазор может быть равным нулю. Средний зазор 5" (среднее арифметическое наименьшего и наибольшего зазоров) Действительный зазор Se - зазор, определяемый Kit к разность действительных размеров отверстия и вала. Допуск посадки с зазором ITS - сумма допусков отверстия и вала, составляющих соединение. Допуск посадки можно определить так же, как разность между наибольшим и наименьшим зазорами: Графическое изображение полей допусков для посадок с зазором приведено на рис. 5.7. Рис. 5.6. Рис. 5.7. Посадка с натягом - посадка, при которой всегда образуется натяг в соединении, т. е. наибольший предельный размер отверстия меньше наименьшего предельного размера вала или равен ему. Натяг И- разность размеров вала и отверстия до сборки, если размер вала больше размера отверстия (рис. 5.5, б) Для посадок с натягом характерно то, что поле допуска вала располагается выше поля допуска отверстия. Сборка таких деталей обычно производится с помощью пресса. Натяг обычно обозначается буквой N. Величина натяга определяется действительными размерами вала и отверстия. Рис. 5.8. Наибольший натяг Ытж - разность между наибольшим предельным размером вала и наименьшим предельным размером отверстия до сборки (см. рис. 5.6, б и 5.8) Наименьший натяг - это разность между наименьшим предельным размером вала и наибольшим предельным размером отверстия до сборки (рис. 5.8) Средний натяг Ыт - среднее арифметическое наибольшего и наименьшего натягов Действительный натяг Ne - натяг, определяемый как разность между действительными размерами вала и отверстия до сборки. Допуск посадки с натягом ITN - разность между наибольшим и наименьшим натягами т. е. допуск посадки с натягом равен сумме полей допусков отверстия и вала, составляющих соединение. Посадки с натягом используются в тех случаях, когда необходимо передать крутящий момент или (и) осевую силу в основном без дополнительного крепления за счет сил трения, создаваемых натягом. Графическое изображение расположения полей допусков для посадок с натягом приведено на рис. 5.9. Рис. 5.9. В этой группе посадок возможно получение как зазора, так и натяга в зависимости от действительных размеров отверстия и вала (рис. 5.10). Характерной особенностью переходных посадок является частичное перекрытие полей допусков вала и отверстия. Переходные посадки характеризуются наибольшим натягом и 5^. Для определения наибольшего натяга и наибольшего зазора можно воспользоваться формулами (5.17); (5.18) и (5.10); (5.11). Допуск переходной посадки /77^5 определяется по формуле Рис. 5.10. Перепишем формулу (5.16) таким образом: -(В - а). Выражение в скобках является зазором (5.9). Тогда можно записать ЛГ = -5, т. е. натяг есть отрицательный зазор. Минимальный отрицательный зазор является максимальным натягом, а минимальный отрицательный натяг - максимальным зазором, т. е. справедливы следующие соотношения: С учетом (5.24) и (5.25) формулу (5.23) можно переписать следующим образом: т. е. допуск посадки равен сумме полей допусков вала и отверстия, составляющих соединение. Графическое изображение полей допусков в переходных посадках приведено на рис. 5.11. Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала в--160 мкм (-0,106 мм), верхнее отклонение вала е$ - -60 мкм (-0,06 мм). Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия £7= +72 мкм (+0,072 мм), верхнее отклонение отверстия £5_ +159 мкм (+0,159 мм). Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.12. Рис. 5.11. Рис. 5.12. Рис. 5.13. Допуск посадки (зазора) Пример. Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала е ~ 72 мкм (0,072 мм), верхнее отклонение вала е$~ 159 мкм (0,159 мм). Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия £7= -106 мкм (-0,106 мм), верхнее отклонение отверстия £5--60 мкм (-0,060 мм). Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.13. Решение. Наибольший предельный размер вала d^ dmax=d + es= 100+ (0,159) = 100,159 мм. Наименьший предельный размер вала dm.n 4™= d + "= I* + (0,072) = 100,072 мм. Поле допуска вала Td = 4™, ~ 4*п= Ю0,159 - 100,072 = 0,087 мм lTd = es- ei = 0,159 - 0,072 = 0,087 мм. Наибольший предельный размер отверстия Omw = D + ES= 100 + (-0,060) = 99,940 мм. Наименьший предельный размер отверстия Dmin= D+ Е1= 100 + (-0,106) = 99,894 мм. Определим поле допуска отверстия "™ = Ом" " Яя1а= 99,940 - 99,894 = 0,046 мм N"1= Е1= 0,159- (-0,106) =0,265 мм. Минимальный натяг в соединении 4ы"" А"* = Ю0.072 - 99,940 = 0,132 мм ^п"п = е" ~ £У= О"072 ~ (-0,060) = 0,132 мм. Допуск посадки (натяга) ПИ = - Ыя.т = 0,265 - 0,132 = 0,133 мм ГГЫ = т + 1Тй = 0,087 + 0,046 = 0,133 мм. Пример. Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала а - +71 мкм (+0,071 мм), верхнее отклонение вала е$~ +93 мкм (+0,093 мм). Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия £7= +72 мкм (+0,072 мм), верхнее отклонение отверстия £5_ +159 мкм (+0,159 мм). Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.14. Решение. Наибольший предельный размер вала дтзх 4™, = ^ + Ю0 + 0,093 = 100,093 мм. Наименьший предельный размер вала ёт,"
Поле допуска вала /Тс/ = с/^-с/^п = 100,093 - 100,071 = 0,022 мм Рис. 5.14. т = & - в! = 0,093 - 0,071 = 0,022 мм. Наибольший предельный размер отверстия Ош = О + £5= 100 + 0,159 = 100,159 мм. Наименьший предельный размер отверстия Ою.т= й + Е1= 100 + 0,072 = 100,072 мм. Поле допуска отверстия /77) = Отая - йя1а = 100,159 - 100,072 = 0,087 мм /77) = £5- £7 = 0,159 - 0,072 = 0,087 мм. Максимальный зазор в соединении 5"""= А™," 4-"= 100,159 - 100,071 =0,088 мм = £5- е!= 0,159 - 0,071 = 0,088 мм. Максимальный натяг в соединении 4Ж- /)м(п = 100,093 - 100,072 = 0,021 мм М*,*, = ез-ЕГ= 0,093 - 0,072 = 0,021 мм. Допуск посадки (зазора-натяга) /77У5 = 5^ + 0,088 + 0,021 = 0,109 мм /7Ж = т + /77) - 0,022 + 0,087 - 0,109 мм. Совокупность разных точностей и различных отклонений для образования разнообразных посадок
и их построение называется системой допусков
. Система допусков
подразделяется на систему отверстия
и систему вала
. Система отверстия
- это совокупность посадок
, в которых при одном классе точности и одном номинальном размере предельные размеры отверстия остаются постоянными, а различные посадки
достигаются путем изменения предельных отклонений валов. Во всех стандартных посадках системы отверстия
нижнее отклонение отверстия равно нулю. Такое отверстие называется основным. Система вала
- это совокупность посадок
, в которых предельные отклонения вала одинаковы (при одном номинальном размере и одном классе точности), а различные посадки
достигаются путем изменения предельных отношений отверстия. Во всех стандартных посадках
системы вала верхнее отклонение вала равно нулю. Такой вал называется основным. Поля допусков
основных отверстий обозначаются буквой А, а основных валов - буквой В с числовым индексом класса точности (для 2-го класса точности индекс 2 не указывается): А1, А, А2а,А3а, А4 и А5, В1 В2, В2а, В3, В3а, В4, В5. Общесоюзными стандартами установлены допуски и посадки
гладких соединений. Посадки
во всех системах образуются сочетанием полей допусков
. отверстия и вала. Стандартами установлены две равноправные системы образования посадок
: система отверстия
и система вала
. Посадки
в системе отверстия
- посадки
, в которых различные зазоры и натяги
допусков
валов с одним (основным) полем допуска
отверстия. Посадки
в системе вала - посадки
, в которых различные зазоры и натяги
получают сочетанием различных полей допусков
отверстий с одним (основным) полем допуска
вала. Обозначают посадки
записью полей допусков
отверстия и вала, обычно в виде дроби. При этом поле допуска
отверстия всегда указывается в числителе дроби, а поле допуска
вала - в знаменателе. Пример обозначения посадки
Н7
30-или 30 Н7 / g6 . Эта запись означает, что сопряжение выполнено для номинального размера 30 мм, в системе отверстия
, так как поле допуска
отверстия обозначено Н7 (основное отклонение для Н равно нулю и соответствует обозначению основного отверстия, а цифра 7 показывает, что допуск
для отверстия надо брать по седьмому квалитету для интервала размеров (свыше 18 до 40 мм), в который входит размер 30 мм); поле допуска вала g6 (основное отклонение g с допуском
по квалитету 6). Посадка
: 080 F7 / h6 или 0 80 Эта запись означает, что сопряжение выполнено для цилиндрического сопряжения с номинальным диаметром 80 мм в системе вала
, так как поле допуска
вала обозначено h6 (основное отклонение для h равно нулю и соответствует обозначению основного вала, а цифра 6 показывает, что допуск
для вала надо брать по шестому квалитету для интервала размеров (свыше 50 до 80 мм, к которому относится размер 80 мм); поле допуска
отверстия F7 (основное отклонение F с допуском
по квалитету 7). В этих примерах числовые значения отклонений валов и отверстий не указаны, их надо определить по таблицам стандартов. Это неудобно для непосредственных изготовителей изделий в условиях производства, поэтому рекомендуется указывать на чертежах так называемое смешанное обозначение требований к точности размеров элементов деталей. При таком обозначении рабочему виден и характер сопряжения и известны значения допускаемых отклонений для вала и отверстия. Легко переводить посадки из одной системы в другую не меняя характера сопряжения, при этом квалитеты у отверстия и вала сохраняют, а заменяют основные отклонения, например: 08OF7/h6 -> 08OH7/f6. Пример обозначения посадки
по системе ОСТ: 20 А з / С. Эта запись указывает, что данная посадка
для номинального размера 20 мм выполнена в системе отверстия (буквой А обозначают отклонение основного отверстия, которое приведено в числителе). Отверстие выполнено с допуском
по третьему классу точности и об этом говорит индекс при обозначении поля допуска
отверстия. Вал выполнен по второму классу точности и на это указывает отсутствие индекса у буквы обозначающей поле допуска
вала С, которое предназначено для образования посадки
скольжения. Посадки
в ЕСДП. В ЕСДП сами посадки
непосредственно не нормируются. В принципе пользователь системы может применять для образования посадок любые сочетания нормируемых полей допусков
валов и отверстий. Но экономически такое многообразие не оправдано. Поэтому в информационном приложении к стандарту даются рекомендуемые посадки
в системе отверстия
и в системе вала
. Для образования посадок
используют квалитеты с 5 до 12 для отверстий и с 4 до 12 для валов. Всего рекомендуется для использования 68 посадок
, из которых так же как и для полей допусков
выделены посадки предпочтительного применения. Таких посадок
в системе отверстия 17 и в системе вала
10. На этих же рисунках указаны и обозначения посадок
, предусмотренных для диапазона размеров до 500 мм. Такого количества Посадок
вполне достаточно для конструкторской деятельности при проектировании новых разработок. При этом стараются сочетать большие допуски
для отверстий, чем допуски
вала, обычно на один квалитет. Для более грубых посадок
берут одинаковые допуски
на вал и отверстие (один квалитет). Нужно помнить, что изготовление отверстия обходится дороже, чем изготовление вала той же точности. Поэтому из экономических соображений выгоднее использовать систему отверстия
, а не с
истему вала
. Но иногда оказывается необходимым применение системы вала. Случаи применения посадок в системе вала. Такие случаи редки и их применение объясняется не только экономическими соображениями. Посадки
в системе вала применяют, если на вал одного диаметра необходимо установить несколько деталей с разными видами посадок
. Посадкой
называют характер соединения деталей, определяемый величиной получающихся в нем зазоров и натягов
. Посадка
характеризует большую или меньшую свободу относительного перемещения соединяемых деталей или степень их взаимного смещения. Для получения подвижной посадки
необходимо, чтобы размер охватываемой поверхности был меньше размера охватывающей поверхности, то есть, при соединении вала с отверстием диаметр вала должен быть меньше диаметра отверстия. Разность между этими диаметрами называют зазором
. Наибольший зазор
- это положительная разность между наибольшим предельным размером отверстия и наименьшим предельным размером вала. Наименьшим зазором
- это положительная разность между наименьшим предельным размером отверстия и наибольшим предельным размером вала. При неподвижной посадке
диаметр вала должен быть несколько больше диаметра отверстия. Разность между этими диаметрами называют натягом
. Для соединения деталей с натягом
прилагают некоторое усилие (удары, прессование). Натяг
для одной и той же неподвижной посадки
может изменяться, быть большим или меньшим соответственно изменению действительных размеров вала и отверстия, колеблющихся между их предельными размерами. Таким образом, различают наибольший и наименьший допустимые натяги
. Наибольший натяг
- это отрицательная разность между наибольшим предельным размером вала и наименьшим предельным размером отверстия. Наименьший натяг
- отрицательная разность между наименьшим предельным размером вала и наибольшим предельным размером отверстия. Графическое изображение зазоров и натягов показано на рисунках Таблица названия посадок
Диаметр
отверстия у этих посадок меньше диаметра вала, что характеризует
посадку, обеспечивающую натяг
Для
легкопрессовой посадки наименьший натяг равен нулю
Диаметр
отверстия у этих посадок может быть меньше или равен диаметру вала
Диаметр
отверстия у этих посадок больше диаметра вала, что характеризует
посадку, обеспечивающую зазор
Для
скользящей посадки наименьший зазор равен нулю
Прессовые посадки
(Пр, Пр1, Пр2, Пр3) применяют, когда требуется жесткое соединение деталей без дополнительного закрепления их шпонками, шпильками, стопорами и т. д. Посадку
Пр1 используют при запрессовке втулок в зубчатые колеса и шкивы, клапанных седел - в гнезда. Посадки
Пр, Пр2 и Пр3 - в соединениях, принимающих в процессе работы большие ударные нагрузки (в соединениях зубчатых венцов с ободом червячных и других зубчатых колес, пальцев кривошипов с их дисками и т. п.). Легкопрессовую посадку
(Пл) применяют в тех же случаях, что и посадку
Пр1, но она дает несколько меньшие натяги
. Детали, имеющие прессовые посадки
, собирают на прессах различной мощности. Горячая посадка
(Гр) предназначена для соединения деталей наглухо и обеспечивает прочные неразъемные соединения деталей. Переходные посадки
. Глухую посадку
(Г) применяют для получения плотного неподвижного соединения деталей, например, для крепления втулок в неразъемных подшипниках, которые необходимо закреплять шпонками, шпильками или стопорами, чтобы предохранить от проворачивания во время эксплуатации. Тугая посадка
(Т) предназначена для соединения деталей, которые во время работы должны сохранять неизменное положение и которые собирают и разбирают со значительным усилием. Тугую посадку
используют для установки внутренних колец шарикоподшипников, зубчатых колес и шкивов на валы и т. д. Напряженная посадка
(Н) применяется для плотного соединения деталей при помощи легких ударов. Плотную посадку
(П) применяют для соединения деталей, которые не должны смещаться одна относительно другой, но с приложением значительных усилий могут быть собраны и разобраны вручную или с помощью легких ударов молотка. Скользящую посадку
(С) применяют для соединения деталей, плотно входящих одна в другую, чтобы обеспечить точное направление (соосность). Эта посадка дает самые малые зазоры в соединениях (например, шпиндели сверлильных станков, кулачковые муфты сцепления, сменные зубчатые колеса в станках, фрезы на оправках и т. д.). Посадка
движения (Д) предназначена для соединения деталей, которые перемещаются одна относительно другой с небольшим, но обязательным зазором
и с небольшими скоростями движения (шпиндели делительных головок и различных приборов, сменные кондукторные втулки и т. д.). Ходовая посадка
(X) предназначена для соединений, в которых детали и узлы вращаются с умеренной скоростью (шпиндели токарных станков, шейки которых вращаются в подшипниках скольжения, а также коленчатые и кулачковые валы в соединениях с подшипниками и втулками, зубчатые колеса коробок передач тракторов, автомобилей и т. д.). Легкоходовая посадка
(Л) используется в соединениях, где детали вращаются с большими скоростями, но при небольших давлениях на опоры (например, валы ротора электродвигателя и привода круглошлифовального станка и т. п.). Широкоходовая посадка
(Ш) характеризуется наибольшими зазорами, обеспечивающими свободное перемещение деталей относительно друг друга, и применяется для валов, вращающихся в подшипниках с очень большими скоростями, валов турбогенераторов, текстильных машин и т. д. Характеризуются наличием гарантированного натяга
, то есть при этих посадках наименьший натяг
больше нуля. Следовательно, для получения неподвижной посадки
необходимо, чтобы диаметр сопрягаемого вала был больше диаметра сопрягаемого отверстия. Горячая посадка
(Гр) применяется присоединениях таких деталей, которые никогда не должны разбираться, например бандажи железнодорожных колес, стяжные кольца и прочее. Для получения этой посадки
деталь с отверстием нагревается до температуры
150° -500°, после чего производится насадка на вал. Несмотря на получение в результате такой посадки
более прочных соединений, чем при других видах посадок
, она имеет отрицательные свойства - возникают внутренние напряжения в деталях и изменяется структура металла. Прессовая посадка
(Пр) применяется для прочного соединения деталей. Эта посадка
осуществляется под значительным усилием гидравлического или механического пресса или специального приспособления. Примером такой посадки может служить посадка
втулок, зубчатых колес, шкивов и пр. Легко прессовая посадка
(Пл) применяется в тех случаях, когда требуется возможно более прочное соединение и в то же время недопустима сильная запрессовка из-за ненадежности материала или из-за опасения деформировать детали. Такая посадка осуществляется под легким давлением пресса. Не гарантируют натяга
или зазора
, то есть, одна пара деталей, соединенных с одной из переходных посадок, может иметь натяг
, а другая пара, сопряженная с такой же посадкой
, зазор
. Чтобы повысить степень неподвижности деталей, соединенных с переходными посадками
, применяется дополнительное крепление винтами, штифтами и т. п. Чаще всего эти посадки применяются при необходимости обеспечить соосность, т. е. совпадение осевых линий двух деталей, например вала и втулки. Глухая посадка
(Г) применяется для соединения деталей, которые при всех условиях работы должны быть связаны прочно и могут быть собраны или разобраны при значительном давлении. При таком соединении детали дополнительно крепят шпонками, стопорными винтами, например зубчатые колеса, которые вследствие износа должны подвергаться смене, планшайбы на шпинделях токарных станков, неразрезные подшипниковые втулки, золотниковые и круглые втулки и пр. Осуществляется эта посадка
сильными ударами молотка. Тугая посадка (Т) применяется для часто разбираемых соединений, детали которых должны прочно соединяться и могут быть собраны или разобраны со значительным усилием. Напряженная посадка
(Н) применяется для соединения таких деталей, которые при работе должны сохранять свое относительное положение и могут быть собраны или разобраны без значительных усилий с помощью ручного молотка или съемника. Чтобы соединенные с такой посадкой детали не проворачивались и не сдвигались, их закрепляют шпонками или стопорными винтами. Эта посадка
, осуществляемая ударами молотка, применяется для соединения зубчатых колес, часто сменяющихся втулок подшипников, которые при разборке машин вынимаются, подшипников качения на валах, шкивах, сальниковых втулок, маховиков на кривошипных и иных валах, фланцах и т. п. Плотная посадка
(П) применяется для соединения таких деталей, которые собирают или разбирают вручную или же при помощи деревянного молотка. С такой посадкой
соединяются детали, требующие точной центровки: поршневые штоки, эксцентрики на валах, ручных маховичках, шпинделях, сменных шестернях, установочных кольцах и т. п. В тех случаях, когда осуществление посадки под прессом невозможно в силу больших габаритов сопрягаемых деталей, используют горячую посадку.
Посадка с нагревом
заключается в том, что одна из сопрягаемых деталей (охватывающая) нагревается до необходимой температуры, достаточной для свободной посадки на другую (охватываемую) деталь. Температура нагрева зависит от размера сопрягаемой детали и заданной величины натяга
. Подогрев можно осуществить в ёмкости с кипящей водой, горячим маслом или паром, когда расчетная температура нагретой детали не превышает 100-120°С. Этот способ имеет то преимущество. Детали нагреваются равномерно и исключается их деформация. Нагрев деталей в горячем минеральном масле исключает к тому же появление возможной коррозии, что является преимуществом при посадке на вал подшипников качения и других деталей. Нагревание деталей может производиться в газовых или электрических нагревательных печах сразу партией, что обеспечивает непрерывность в работе при серийном и массовом производстве. В данном случае также обеспечивается равномерный нагрев деталей, кроме того, необходимая температура может быть отрегулирована в нужных пределах с высокой точностью. Нагревание электрическим током методом сопротивления или индукцией используется главным образом при горячей посадке крупных деталей. Для этой цели применяются специальные индукторы или спирали, которые надеваются или вставляются в одну из деталей и при пропускании через них электрического тока высокой или промышленной частоты вызывают нагрев детали. Так, например, с помощью токов промышленной частоты (ТПЧ) обеспечивается нагрев крупных деталей шестерен, муфт, катков, шарикоподшипников и других деталей, имеющих размер посадочного отверстия 300 мм при наружном диаметре детали до 1000 мм и ширине 350 мм. При запрессовке обеспечиваются прессовые, тугие и скользящие посадки
, выполненные по 2-му и 3-му классам точности. Время нагрева деталей указанных габаритов до температуры 150-200°С длится всего лишь 15-20 мин. Для стальных деталей, необходимая температура нагрева охватывающей детали подсчитывается по формуле: t=(1350/D + 90)°С, где D - посадочный диаметр детали, мм. К
атегория:
Разметка
Основные понятия о зазорах и натягах
В любом механизме, как бы он ни был сложен, всегда можно выделить элементарные соединения, представляющие собой пару сопряженных поверхностей. Эти поверхности деталей, составляющих узлы и агрегаты, должны занимать относительно друг друга то или иное положение, которое позволит им либо совершать относительные перемещения, либо сохранять полную неподвижность при определенной прочности соединения. При сборке двух деталей, входящих одна в другую, различают внешнюю (охватывающую) и внутреннюю (охватываемую) поверхности. Один из размеров соприкасающихся поверхностей называется охватывающим размером, а другой - охватываемым (рис. 1, а). Рис. 1. Типы поверхностей деталей (а); зазоры в сопряжении отверстия с валом ( Для круглых тел охватывающая поверхность носиг общее наименование отверстия, а охватываемая - вала. Соответствующие им размеры называют диаметром отверстия и диаметром вала. Если поверхности образованы двумя параллельными плоскостями каждая, то соединение называется плоским с параллельными плоскостями. Характер сопряжения двух поверхностей называется посадкой. Посадка характеризует большую или меньшую свободу относительного перемещения соединяемых деталей или степень сопротивления их взаимному смещению. Посадки могут быть с зазором или с натягом. Зазором называется положительная разность между размерами отверстия и вала (размер отверстия больше размера вала). Наибольшим зазором называется разность между наибольшим предельным размером отверстия и наименьшим предельным размером вала (рис. 1,б). Наименьшим зазором называется разность между наименьшим предельным размером отверстия и наибольшим предельным размером вала. Рассмотрим это на примере. Пусть размер вала равен 30 Годм, а размер отверстия 30+0’027. Тогда наибольший предельный размер вала будет равен 30-0,02 = = 29,98, а наименьший -30-0,04 = 29,96 мм. Допуск в данном случае определится следующим образом: 29,98-29,96 = 0,02 мм. Наибольший предельный размер отверстия равен 30 + 0,027 = 30,027 мм, наименьший предельный размер равен 30 мм, а допуск 30,027-30,00 = = 0,027 мм. В этом соединении диаметр вала меньше диаметра отверстия и, следовательно, между отверстием и валом есть зазор. Наибольший зазор: 30,027-29,96 = = 0,067 мм. Наименьший зазор: 30-29,98=0,02 мм. Натягом называется отрицательная разность между диаметром отверстия и диаметром вала до сборки деталей, создающая после сборки неподвижное соединение (размер отверстия больше размера вала). Наибольшим натягом называется разность между наибольшим предельным размером вала и наименьшим предельным размером отверстия (рис. 20,б). Наименьшим натягом называется разность между наименьшим предельным размером вала и наибольшим предельным размером отверстия. Например, диаметр вала: 35+o!o5i диаметр отверстия: 35+0’0‘7.Тогда наибольший предельный размер вала будет 35,10 и наименьший-35,05 мм. Допуск 35,10-35,05 = 0,05 мм. Соответственно наибольший предельный размер отверстия равен 35,027 мм, наименьший - 35 мм. Допуск 35,027- 35 = 0,027 мм. В этом соединении размер вала больше размера отверстия, и, следовательно, существует натяг. Наибольший натяг равен 35,10-35 = 0,10 мм; наименьший: 35,05-35,027 = 0,023 мм. Следовательно, степень прочности или подвижности соединения зависит от величины натяга или зазора, т. е. от характера соединения деталей или их посадки. выполнено .
: . (1)
. (2)
или или . .
, 
.
. Тогда выполнено 
и 
. Тогда .
выполнено . выполнено .
.
. , 
и "n>N
выполняется 
, то 
.
.
"n>N
0 . (1)
, то 
.
, где – БМП, то есть . . Рассмотрим последовательность 
. .
, где - БМП. , где .
, то "n>N
Þ . 
.
то – БМП;
.
.
, . , (аналогично). , 
,
, 
, , 
– неопределенность вида .
, 
, , – неопределенность вида
.
, где a
>0.
.
Если множество значений неограниченно сверху, то 
.
. Если множество значений не ограничено снизу, то 
.
.
.
.
и, следовательно, . 
или 
.
, выполнено (f
(x n
)) A
. Второе определение предела функции (по Коши).
2.
ЧислоА
называется пределом функции f в точке а
, если >0 >0: : 0< < выполнено 
. - что 
, то получаем определение “на языке окрестностей”. .
или на 
.
.
– левый предел, 
– правый предел.
. Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.
выполняется ,
выполняется .
выполняется .
выполняется определение предела в точке а.
, 
и .
и 
. Но по теореме о единственности предела последовательности отсюда следует, чтоА=В
. , то ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а
.
;
.
. , 
иА
<B
(A
>B
). выполняется 
(
).
и А
<B
(A
>B
), то : : выполняется ().
, 
и : : выполняется 
). Тогда . , . Тогда в точкеа
существуют пределы суммы, разности, произведения и частного (при условии, что и в ), причем
,
,
при и в .
: 
. Так как и , то по определению предела функции по Гейне 
, 
. По теореме о пределе суммы последовательностей последовательность 
также имеет предел, причем . : последовательность сходится к числу А+В
() 
. , 
, 
, 
, 
Соединения
Посадки с зазором
Посадки с натягом
Переходные посадки
Примеры определения предельных размеров, допусков, зазоров и натягов в соединениях при различных видах посадок
Посадка с зазором
Посадка с натягом
Переходная посадка
Посадки
в системе отверстия
и в системе вала
Группы посадок
Посадки
разделяют на три основные группы: подвижные, неподвижные и переходные. Если при сопряжении получается зазор
, то посадка
является подвижной, а если натяг
- неподвижной. В переходных посадках
разность диаметров вала и отверстия относительно мала, здесь могут быть как небольшие зазоры
, так и небольшие натяги
.Группа
Наименование
посадок
Обозначение
Характер
соединения
Неподвижные
Горячая
Прессовая 3-я
Прессовая 2-я
Прессовая 1-я
Прессовая
Легкопрессовая
Гр
Пр3
Пр2
Пр1
Пр
Пл
Переходные
Глухая
Тугая
Напряженная
Плотная
Г
Т
Н
П
Подвижные
Скользящая
Движения
Ходовая
Легкоходовая
Широко ходовая
Широкоходовая 1-я
Широкоходовая 2-я
Теплоходовая
С
Д
Х
Л
Ш
Ш1
Ш2
ТХ
Неподвижные посадки
.
Подвижные посадки
.
Переходные посадки.
