Derivată de grafic. În ce moment este valoarea derivatei cea mai mare?

Tipul locului de muncă: 7

Condiție

Linia y=3x+2 este tangentă la graficul funcției y=-12x^2+bx-10. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mică decât zero.

Afișează soluția

Decizie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=-12x^2+bx-10 prin care trece tangenta la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y"(x_0)=-24x_0+b=3. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției, cât și tangentă, adică -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(cazuri)

Rezolvând acest sistem, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. După starea abscisei, punctele de atingere sunt mai mici decât zero, deci x_0=-1, apoi b=3+24x_0=-21.

Răspuns

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=-3x+4 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=-x^2+5x-7. Găsiți abscisa punctului de contact.

Afișează soluția

Decizie

Panta dreptei la graficul funcției y=-x^2+5x-7 într-un punct arbitrar x_0 este y"(x_0). Dar y"=-2x+5, deci y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Angular coeficientul dreptei y=-3x+4 specificat în condiție este -3.Drecțiile paralele au aceleași pante.De aceea, găsim o astfel de valoare x_0 care =-2x_0 +5=-3.

Se obține: x_0 = 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Afișează soluția

Decizie

Din figură, determinăm că tangenta trece prin punctele A(-6; 2) și B(-1; 1). Se notează cu C(-6; 1) punctul de intersecție al dreptelor x=-6 și y=1, iar cu \alpha unghiul ABC (se vede în figură că este ascuțit). Apoi linia AB formează un unghi obtuz \pi -\alpha cu direcția pozitivă a axei Ox.

După cum știți, tg(\pi -\alpha) va fi valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x_0. observa asta tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. De aici, prin formulele de reducere, obținem: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=-2x-4 este tangentă la graficul funcției y=16x^2+bx+12. Găsiți b, având în vedere că abscisa punctului de atingere este mai mare decât zero.

Afișează soluția

Decizie

Fie x_0 abscisa punctului de pe graficul funcției y=16x^2+bx+12 prin care

este tangent la acest grafic.

Valoarea derivatei în punctul x_0 este egală cu panta tangentei, adică y "(x_0)=32x_0+b=-2. Pe de altă parte, punctul tangentei aparține atât graficului funcției. iar tangenta, adică 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obținem un sistem de ecuații \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(cazuri)

Rezolvând sistemul, obținem x_0^2=1, ceea ce înseamnă fie x_0=-1, fie x_0=1. În funcție de starea abscisei, punctele de atingere sunt mai mari decât zero, deci x_0=1, apoi b=-2-32x_0=-34.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Figura prezintă un grafic al funcției y=f(x) definită pe intervalul (-2; 8). Determinați numărul de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu dreapta y=6.

Afișează soluția

Decizie

Linia y=6 este paralelă cu axa Ox. Prin urmare, găsim astfel de puncte în care tangenta la graficul funcției este paralelă cu axa Ox. Pe acest grafic, astfel de puncte sunt puncte extreme (puncte maxime sau minime). După cum puteți vedea, există 4 puncte extreme.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Linia y=4x-6 este paralelă cu tangenta la graficul funcției y=x^2-4x+9. Găsiți abscisa punctului de contact.

Afișează soluția

Decizie

Panta tangentei la graficul funcției y \u003d x ^ 2-4x + 9 la un punct arbitrar x_0 este y "(x_0). Dar y" \u003d 2x-4, ceea ce înseamnă y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Panta tangentei y \u003d 4x-7 specificată în condiție este egală cu 4. Dreptele paralele au aceleași pante. Prin urmare, găsim o astfel de valoare x_0 încât 2x_0-4 \u003d 4. Obținem : x_0 \u003d 4.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Tipul locului de muncă: 7
Subiect: Sensul geometric al derivatului. Graficul tangent la funcție

Condiție

Figura prezintă graficul funcției y=f(x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x_0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x_0.

Afișează soluția

Decizie

Din figură, determinăm că tangenta trece prin punctele A(1; 1) și B(5; 4). Se notează cu C(5; 1) punctul de intersecție al dreptelor x=5 și y=1, iar cu \alpha unghiul BAC (se vede în figură că este ascuțit). Apoi linia AB formează un unghi \alpha cu direcția pozitivă a axei Ox.

Operația de găsire a unei derivate se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) au fost primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor.

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu este necesar să se calculeze limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să se utilizeze tabelul a derivatelor şi regulile de diferenţiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul stroke descompune funcții simpleși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În plus, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1 Aflați derivata unei funcții

Decizie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata sumei funcțiilor este suma derivatelor funcțiilor, adică.

Din tabelul derivatelor, aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții

Decizie. Diferențiați ca derivată a sumei, în care al doilea termen cu un factor constant, poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă există încă întrebări despre unde vine ceva, acestea, de regulă, devin clare după citirea tabelului de derivate și a celor mai simple reguli de diferențiere. Mergem la ei chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Mereu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „x”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut
3. Derivată de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile non-pătrate într-o putere.
4. Derivată a unei variabile la puterea lui -1
5. Derivată a rădăcinii pătrate
6. Derivat sinus
7. Derivat de cosinus
8. Derivată tangentă
9. Derivat de cotangente
10. Derivată a arcsinusului
11. Derivată a arccosinusului
12. Derivată de arc tangente
13. Derivată a tangentei inverse
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata functiei exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a sumei sau a diferenței
2. Derivat al unui produs
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, apoi în același punct funcțiile

și

acestea. derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-o constantă, atunci derivatele lor sunt, adică

Regula 2Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este, de asemenea, diferențiabil în același punct

și

acestea. derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.

Consecința 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Consecința 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecaruia dintre factori si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat și , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabil.u/v și

acestea. derivata unui cât de două funcții este egală cu o fracție al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul numărătorului anterior .

Unde să te uiți pe alte pagini

Când găsiți derivata produsului și coeficientul în probleme reale, este întotdeauna necesar să aplicați mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că mai multe exemple despre aceste derivate sunt în articol.„Derivata unui produs și a unui coeficient”.

Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen din sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Aceasta este o greșeală tipică care apare în etapa inițială a studierii derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una-două componente, studentul obișnuit nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, în care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (un astfel de caz este analizat în exemplul 10) .

O altă greșeală comună este soluția mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe dedicat unui articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți lipsi de transformări ale expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți în noi manuale Windows Acțiuni cu puteri și rădăciniși Acțiuni cu fracții .

Dacă cauți soluții la derivate cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmează lecția „Derivată a sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , atunci te afli la lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3 Aflați derivata unei funcții

Decizie. Determinăm părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă produsul, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă, al doilea termen cu semnul minus. În fiecare sumă, vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „x” se transformă în unu, iar minus 5 - în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori ale derivatelor:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Exemplul 4 Aflați derivata unei funcții

Decizie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicam formula de diferentiere a unui cat: derivata unui cat de doua functii este egala cu o fractiune al carei numarator este diferenta dintre produsele numitorului si derivata numaratorului si numaratorului si derivata numitorului, si numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la astfel de probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și grade, cum ar fi, de exemplu, atunci bun venit la curs „Derivata sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci ai o lecție „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5 Aflați derivata unei funcții

Decizie. În această funcție, vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, cu derivata căreia ne-am familiarizat în tabelul derivatelor. Conform regulii de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Exemplul 6 Aflați derivata unei funcții

Decizie. În această funcție, vedem coeficientul, al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Conform regulii de diferențiere a coeficientului, pe care am repetat-o și aplicată în exemplul 4, și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de fracția din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

Între timp ( A,b), A X- este un punct ales aleatoriu al intervalului dat. Să dăm un argument X creştereΔx (pozitiv sau negativ).

Funcția y \u003d f (x) va primi un increment Δy egal cu:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

Pentru Δх infinit mic creştereΔy este, de asemenea, infinit mic.

De exemplu:

Luați în considerare soluția derivatei unei funcții folosind exemplul căderii libere a unui corp.

Deoarece t 2 \u003d t l + Δt, atunci

Calculând limita, găsim:

Notația t 1 este introdusă pentru a sublinia constanța lui t la calcularea limitei unei funcții. Deoarece t 1 este o valoare arbitrară a timpului, indicele 1 poate fi abandonat; atunci obținem:

Se poate observa că viteza v, precum calea s, mânca funcţie timp. Tipul funcției v depinde în întregime de tipul funcției s, deci funcția s un fel de „produce” o funcție v. De aici și numele " funcţie derivată».

Luați în considerare altul exemplu.

Aflați valoarea derivatei unei funcții:

y = x 2 la x = 7.

Decizie. La x = 7 avem y=7 2=49. Să dăm un argument X creştere Δ X. Argumentul devine 7 + Δ X, iar funcția va primi valoarea (7 + Δ x) 2.

Cercetarea funcției. În acest articol, vom vorbi despre sarcini în care sunt luate în considerare funcțiile și în condiția să apară întrebări legate de studiul lor. Luați în considerare principalele puncte teoretice pe care trebuie să le cunoașteți și să le înțelegeți pentru a le rezolva.

Acesta este un întreg grup de sarcini incluse în examenul de matematică. Se pune de obicei întrebarea despre găsirea punctelor de maxim (minim) sau determinarea celei mai mari (mai mici) valori a unei funcții pe un interval dat.Considerat:

— Puterea și funcțiile iraționale.

— Funcții raționale.

— Studiu de lucrări și privat.

— Funcții logaritmice.

— Funcții trigonometrice.

Dacă înțelegeți teoria limitelor, conceptul de derivată, proprietățile unei derivate pentru studiul graficelor funcțiilor și ale acesteia, atunci astfel de probleme nu vă vor cauza nicio dificultate și le veți rezolva cu ușurință.

Informațiile de mai jos sunt puncte teoretice, a căror înțelegere va face posibilă înțelegerea modului de rezolvare a unor astfel de probleme. Voi încerca să le enunț în așa fel încât chiar și cei care au ratat acest subiect sau au studiat-o prost să poată rezolva astfel de probleme fără prea multe dificultăți.

În problemele acestui grup, așa cum sa menționat deja, este necesar să se găsească fie punctul minim (maxim) al funcției, fie cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției pe interval.

Puncte minime și maxime.Proprietăți derivate.

Luați în considerare graficul funcției:

Punctul A este punctul maxim, pe intervalul de la O la A funcția crește, pe intervalul de la A la B scade.

Punctul B este un punct minim, pe intervalul de la A la B funcția scade, pe intervalul de la B la C crește.

În aceste puncte (A și B), derivata dispare (egal cu zero).

Tangentele din aceste puncte sunt paralele cu axa bou.

Voi adăuga că punctele în care funcția își schimbă comportamentul de la creștere la descreștere (și invers, de la descreștere la creștere) se numesc extreme.

Punct important:

1. Derivata pe intervale crescătoare are semn pozitiv (nLa substituirea unei valori din interval în derivată, se obține un număr pozitiv).

Deci, dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare pozitivă, atunci graficul funcției pe acest interval crește.

2. Pe intervalele de scădere, derivata are semn negativ (la înlocuirea valorii din interval în expresia derivată se obține un număr negativ).

Deci, dacă derivata la un anumit punct dintr-un anumit interval are o valoare negativă, atunci graficul funcției pe acest interval scade.

Acest lucru trebuie clarificat!

Astfel, calculând derivata și echivalând-o cu zero, puteți găsi puncte care împart axa reală în intervale.Pe fiecare dintre aceste intervale, puteți determina semnul derivatei și apoi trageți o concluzie despre creșterea sau scăderea acesteia.

* Separat, ar trebui spus despre punctele în care derivata nu există. De exemplu, putem obține o derivată al cărei numitor dispare la un anumit x. Este clar că pentru un astfel de x derivata nu există. Deci, acest punct trebuie luat în considerare și la determinarea intervalelor de creștere (scădere).

Funcția în punctele în care derivata este egală cu zero nu își schimbă întotdeauna semnul. Acesta va fi un articol separat. Nu vor exista astfel de sarcini la USE în sine.

Proprietățile de mai sus sunt necesare pentru a studia comportamentul unei funcții în creștere și scădere.

Ce mai trebuie să știți pentru a rezolva problemele specificate: tabelul derivatelor și regulile de diferențiere. Nimic fără asta. Acestea sunt cunoștințe de bază în tema derivatelor. Ar trebui să cunoașteți foarte bine derivatele funcțiilor elementare.

Calcularea derivatei unei funcții complexef(g(X)), imaginați-vă funcțiag(X) este o variabilă și apoi calculați derivataf’(g(X)) prin formule tabulare ca derivată obișnuită a unei variabile. Apoi înmulțiți rezultatul cu derivata funcțieig(X) .

Urmăriți un tutorial video de Maxim Semenikhin despre o funcție complexă:

Probleme pentru găsirea punctelor maxime și minime

Algoritmul pentru găsirea punctelor maxime (minime) ale funcției:

1. Aflați derivata funcției f’(X).

2. Aflați zerourile derivatei (echivalând derivata cu zero f’(X)=0 și rezolvați ecuația rezultată). Găsim și puncte în care derivata nu există(în special, aceasta se referă la funcții fracționale-raționale).

3. Marcam valorile obținute pe linia numerică și determinăm semnele derivatei pe aceste intervale prin înlocuirea valorilor din intervale în expresia derivată.

Ieșirea va fi una dintre cele două:

1. Punctul maxim este punctulîn care derivata se schimbă din pozitiv în negativ.

2. Punctul minim este punctulîn care derivata se schimbă din negativ în pozitiv.

Probleme pentru găsirea celei mai mari sau mai mici valori

funcţii pe interval.

Într-un alt tip de problemă, este necesar să se găsească cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval dat.

Algoritmul pentru găsirea celei mai mari (mai mici) valoare a funcției:

1. Stabiliți dacă există puncte maxime (minime). Pentru a face acest lucru, găsim derivata f’(X) , apoi rezolvați f’(X)=0 (punctele 1 și 2 din algoritmul anterior).

2. Determinăm dacă punctele obținute aparțin unui interval dat și le notăm pe cele care se află în el.

3. Substituim în funcția inițială (nu în derivată, ci în cea dată în condiție) limitele intervalului dat și punctele (maxim-minim) aflate în interval (elementul 2).

4. Calculăm valorile funcției.

5. Selectăm cea mai mare (cea mai mică) valoare dintre cele obținute, în funcție de ce întrebare a fost pusă în sarcină, apoi notăm răspunsul.

Întrebare: de ce în sarcinile de a găsi cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții, este necesar să se caute puncte maxime (minime)?

Răspunsul este cel mai bine ilustrat, vezi o reprezentare schematică a graficelor date de funcții:

În cazurile 1 și 2, este suficient să înlocuiți limitele intervalului pentru a determina valoarea maximă sau minimă a funcției. În cazurile 3 și 4, este necesar să găsiți zerourile funcției (puncte maxim-minim). Dacă înlocuim limitele intervalului (fără a găsi zerourile funcției), vom obține răspunsul greșit, acest lucru se vede din grafice.

Și lucrul este că nu putem vedea cum arată graficul pe interval (dacă are un maxim sau un minim în interval) folosind o funcție dată. Prin urmare, găsiți zerourile funcției fără greș!!!

Dacă ecuaţia f'(X)=0 nu va avea o soluție, aceasta înseamnă că nu există puncte maxim-minim (Figura 1.2), iar pentru a găsi sarcina setată, numai limitele intervalului sunt substituite în această funcție.

Un alt punct important. Amintiți-vă că răspunsul trebuie să fie un număr întreg sau o zecimală finală. Când calculați cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții, veți primi expresii cu numărul e și pi, precum și expresii cu rădăcină. Amintiți-vă că nu trebuie să le calculați până la capăt și este clar că rezultatul unor astfel de expresii nu va fi răspunsul. Dacă există dorința de a calcula o astfel de valoare, atunci faceți-o (numerele: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Am scris multe, probabil confuz? Prin exemple specifice, veți vedea că totul este simplu.

În continuare, vreau să vă spun un mic secret. Cert este că multe sarcini pot fi rezolvate fără a cunoaște proprietățile derivatei și chiar fără regulile de diferențiere. Cu siguranță vă voi spune despre aceste nuanțe și vă voi arăta cum se face? nu ratați!

Dar atunci de ce am afirmat deloc teoria și, de asemenea, am spus că trebuie cunoscută fără greș. Așa este - trebuie să știi. Dacă îl înțelegi, atunci nicio sarcină din acest subiect nu te va deruta.

Acele „trucuri” despre care veți învăța vă vor ajuta să rezolvați probleme specifice (unelor) prototipuri. LaCa instrument suplimentar, aceste tehnici sunt, desigur, convenabile de utilizat. Problema poate fi rezolvată de 2-3 ori mai rapid și economisiți timp pentru rezolvarea părții C.

Toate cele bune!

Cu stimă, Alexander Krutitskikh.

P.S: V-as fi recunoscator daca mi-ati spune despre site pe retelele de socializare.

În problema B9, este dat un grafic al unei funcții sau derivate, din care se cere să se determine una dintre următoarele mărimi:

Valoarea derivatei la un punct x 0,
Puncte ridicate sau scăzute (puncte extreme),
Intervale de funcții crescătoare și descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, ceea ce simplifică foarte mult soluția. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, este destul de în puterea chiar și a celor mai slabi studenți, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și a intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condiția problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori apar texte destul de voluminoase, dar sunt puține condiții importante care afectează cursul soluției.

Calculul valorii instrumentului derivat. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se oferă un grafic al funcției f(x), tangent la acest grafic la un punct x 0 , și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este punctul cheie al soluției, iar orice greșeală aici duce la răspunsul greșit.
Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției la incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Încă o dată, observăm: punctele A și B trebuie căutate tocmai pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Tangenta va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte, altfel problema este formulată incorect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

O sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

O sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula regula: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de contact este egală cu zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să calculați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calcularea punctelor mari și scăzute

Uneori, în locul unui grafic al unei funcții din problema B9, este dat un grafic derivat și este necesar să se găsească punctul maxim sau minim al funcției. În acest scenariu, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivatei, este suficient să efectuați următorii pași:

Redesenați graficul derivatei, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele suplimentare interferează doar cu soluția. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și atât.
Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. În schimb, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus, există un punct minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; cinci]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile - vom lăsa doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, rețineți semnele:

Evident, în punctul x = −3, semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Observați semnele derivatei pe graficul rezultat. Avem:

Evident, în punctul x = 5, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) care aparțin intervalului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic mărginită de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou graf, pe care marchem doar limitele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic, există un singur punct maxim x = 2. În el, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă s-a luat în considerare punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este formulată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu sunt direct implicate în rezolvarea problemei. Desigur, cu puncte întregi un astfel de truc nu va funcționa.

Găsirea intervalelor de creștere și scădere a unei funcții

Într-o astfel de problemă, precum punctele de maxim și minim, se propune să se găsească zone în care funcția în sine crește sau scade din graficul derivatei. În primul rând, să definim ce sunt crescător și descendent:

O funcție f(x) se numește crescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Acestea. o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a functiei.

Formulăm condiții suficiente pentru creșterea și scăderea:

Pentru ca o funcție continuă f(x) să crească pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie pozitivă, i.e. f'(x) ≥ 0.
Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f'(x) ≤ 0.

Acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și scădere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

Eliminați toate informațiile redundante. Pe graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le lăsăm doar pe acestea.
Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. În cazul în care f'(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f'(x) ≤ 0, aceasta scade. Dacă problema are restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe noua diagramă.
Acum că știm comportamentul funcției și al constrângerii, rămâne de calculat valoarea necesară în problemă.

O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(x). În răspunsul dvs., scrieți suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, redesenăm graficul și marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi marchem semnele derivatei. Avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

O sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−10; 4]. Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile redundante. Lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, care de data aceasta s-au dovedit a fi patru: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Observați semnele derivatei și obțineți următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. unde f'(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, scriem valoarea l 2 = 5 ca răspuns.