Графична производна. В кой момент стойността на производната е най-голяма?

Тип работа: 7

Състояние

Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирната точка е по-малка от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика.

Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията, така и на тангенс, т.е. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Получаваме система от уравнения \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Съгласно състоянието на абсцисата точките на допир са по-малки от нула, следователно x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Отговор

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Правата y=-3x+4 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=-x^2+5x-7. Намерете абсцисата на точката на контакт.

Покажи решение

Решение

Наклонът на правата към графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е y"(x_0). Но y"=-2x+5, така че y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Ъгловият коефициент на правата y=-3x+4, определен в условието, е -3.

Получаваме: x_0 = 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Покажи решение

Решение

От фигурата определяме, че допирателната минава през точките A(-6; 2) и B(-1; 1). Означаваме с C(-6; 1) пресечната точка на правите x=-6 и y=1, а с \alpha ъгъла ABC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата AB образува тъп ъгъл \pi -\alpha с положителната посока на оста Ox.

Както знаете, tg(\pi -\alpha) ще бъде стойността на производната на функцията f(x) в точката x_0. забележи това tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.От тук по формулите за редукция получаваме: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Правата y=-2x-4 е допирателна към графиката на функцията y=16x^2+bx+12. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирната точка е по-голяма от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката върху графиката на функцията y=16x^2+bx+12, през която

е допирателна към тази графика.

Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y "(x_0)=32x_0+b=-2. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията и тангенса, тоест 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Получаваме система от уравнения \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \край (случаи)

Решавайки системата, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Съгласно условието на абсцисата допирните точки са по-големи от нула, следователно x_0=1, тогава b=-2-32x_0=-34.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2; 8). Определете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на правата линия y=6.

Покажи решение

Решение

Правата y=6 е успоредна на оста Ox. Следователно намираме такива точки, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста Ox. На тази диаграма такива точки са екстремни точки (максимални или минимални точки). Както можете да видите, има 4 точки на екстремум.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Правата y=4x-6 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x^2-4x+9. Намерете абсцисата на точката на контакт.

Покажи решение

Решение

Наклонът на допирателната към графиката на функцията y \u003d x ^ 2-4x + 9 в произволна точка x_0 е y "(x_0). Но y" \u003d 2x-4, което означава y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Наклонът на допирателната y \u003d 4x-7, посочен в условието, е равен на 4. Успоредните линии имат еднакви наклони. Следователно намираме такава стойност x_0, че 2x_0-4 \u003d 4. Получаваме : x_0 \u003d 4.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция

Състояние

Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x_0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x_0.

Покажи решение

Решение

От фигурата определяме, че допирателната минава през точките A(1; 1) и B(5; 4). Означаваме с C(5; 1) пресечната точка на правите x=5 и y=1, а с \alpha ъгъла BAC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата AB образува ъгъл \alpha с положителната посока на оста Ox.

Операцията за намиране на производна се нарича диференциране.

В резултат на решаването на задачи за намиране на производни на най-простите (и не много прости) функции чрез дефиниране на производната като граница на съотношението на увеличението към увеличението на аргумента, се появи таблица с производни и точно определени правила за диференциране . Исак Нютон (1643-1727) и Готфрид Вилхелм Лайбниц (1646-1716) са първите, които работят в областта на намирането на производни.

Следователно, в наше време, за да се намери производната на която и да е функция, не е необходимо да се изчислява горепосочената граница на съотношението на увеличението на функцията към увеличението на аргумента, а само трябва да се използва таблицата на производните и правилата за диференциране. Следният алгоритъм е подходящ за намиране на производната.

За намиране на производната, имате нужда от израз под знака щрих разбийте прости функциии определя какви действия (продукт, сбор, частно)тези функции са свързани. Освен това намираме производните на елементарни функции в таблицата на производните, а формулите за производните на произведението, сумата и частното - в правилата за диференциране. Таблицата с производните и правилата за диференциране са дадени след първите два примера.

Пример 1Намерете производната на функция

Решение. От правилата за диференциране откриваме, че производната на сумата от функции е сумата от производните на функциите, т.е.

От таблицата на производните откриваме, че производната на "X" е равна на единица, а производната на синуса е косинус. Ние заместваме тези стойности в сумата на производните и намираме производната, изисквана от условието на проблема:

Пример 2Намерете производната на функция

Решение. Диференцирайте като производна на сумата, в която вторият член с постоянен множител, той може да бъде изваден от знака на производната:

Ако все още има въпроси за това откъде идва нещо, те, като правило, стават ясни, след като прочетете таблицата на производните и най-простите правила за диференциация. Точно сега отиваме при тях.

Таблица с производни на прости функции

1. Производна на константа (число). Всяко число (1, 2, 5, 200...), което е в израза на функцията. Винаги нула. Това е много важно да запомните, тъй като се изисква много често
2. Производна на независимата променлива. Най-често "х". Винаги равно на едно. Това също е важно да запомните
3. Производна на степен. Когато решавате задачи, трябва да преобразувате неквадратни корени в степен.
4. Производна на променлива на степен -1
5. Производна на корен квадратен
6. Производна по синус
7. Производна по косинус
8. Тангенсна производна
9. Производна на котангенс
10. Производна на арксинуса
11. Производна на аркосинус
12. Производна на аркутангенс
13. Производна на обратната допирателна
14. Производна на натурален логаритъм
15. Производна на логаритмична функция
16. Производна на показателя
17. Производна на експоненциална функция

Правила за диференциране

1. Производна на сбора или разликата
2. Производна на продукт
2а. Производна на израз, умножен по постоянен множител
3. Производна на частното
4. Производна на сложна функция

Правило 1Ако функции

са диференцируеми в дадена точка, тогава в същата точка функциите

тези. производната на алгебричната сума на функциите е равна на алгебричната сума на производните на тези функции.

Последица. Ако две диференцируеми функции се различават с константа, тогава техните производни са, т.е.

Правило 2Ако функции

са диференцируеми в дадена точка, тогава техният продукт също е диференцируем в същата точка

тези. производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата.

Следствие 1. Постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната:

Следствие 2. Производната на произведението на няколко диференцируеми функции е равна на сумата от произведенията на производната на всеки от факторите и всички останали.

Например за три множителя:

Правило 3Ако функции

диференцируеми в даден момент и , тогава в този момент тяхното частно също е диференцируемо.u/v и

тези. производната на частно от две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, а знаменателят е квадрат на предишния числител .

Къде да търсите на други страници

При намиране на производната на произведението и частното в реални задачи винаги е необходимо да се прилагат няколко правила за диференциране наведнъж, така че повече примери за тези производни има в статията.„Производна на произведение и частно“.

Коментирайте.Не трябва да бъркате константа (т.е. число) като член в сумата и като постоянен фактор! При член производната му е равна на нула, а при постоянен множител се изважда от знака на производните. Това е типична грешка, която се случва в началния етап на изучаване на производни, но когато средният ученик решава няколко едно-двукомпонентни примера, средният ученик вече не допуска тази грешка.

И ако, когато диференцирате продукт или частно, имате член u"v, при което u- число, например 2 или 5, тоест константа, тогава производната на това число ще бъде равна на нула и следователно целият термин ще бъде равен на нула (такъв случай е анализиран в пример 10) .

Друга често срещана грешка е механичното решение на производната на сложна функция като производна на проста функция. Ето защо производна на сложна функцияпосветен на отделна статия. Но първо ще се научим да намираме производни на прости функции.

По пътя не можете без трансформации на изрази. За да направите това, може да се наложи да отворите ръководствата за нов Windows Действия със сили и корении Действия с дроби .

Ако търсите решения за производни със степени и корени, т.е. как изглежда функцията , след което следвайте урока "Производна на сбора от дроби със степени и корени".

Ако имате задача като , значи сте в урока "Производни на прости тригонометрични функции".

Примери стъпка по стъпка - как да намерим производната

Пример 3Намерете производната на функция

Решение. Определяме частите на израза на функцията: целият израз представлява произведението, а неговите множители са суми, във втория от които един от членовете съдържа постоянен множител. Прилагаме правилото за диференциране на продукта: производната на произведението на две функции е равна на сумата от произведенията на всяка от тези функции и производната на другата:

След това прилагаме правилото за диференциране на сумата: производната на алгебричната сума от функции е равна на алгебричната сума на производните на тези функции. В нашия случай, във всеки сбор, вторият член със знак минус. Във всяка сума виждаме както независима променлива, чиято производна е равна на единица, така и константа (число), чиято производна е равна на нула. И така, "х" се превръща в едно, а минус 5 - в нула. Във втория израз "x" се умножава по 2, така че умножаваме две по същата единица като производната на "x". Получаваме следните стойности на производните:

Заместваме намерените производни в сумата от продуктите и получаваме производната на цялата функция, изисквана от условието на проблема:

Пример 4Намерете производната на функция

Решение. От нас се изисква да намерим производната на частното. Прилагаме формулата за диференциране на частно: производната на частно на две функции е равна на дроб, чийто числител е разликата между произведенията на знаменателя и производната на числителя и числителя и производната на знаменателя, и знаменателят е квадрат на предишния числител. Получаваме:

Вече намерихме производната на множителите в числителя в пример 2. Нека също така не забравяме, че произведението, което е вторият множител в числителя в настоящия пример, се взема със знак минус:

Ако търсите решения на такива задачи, в които трябва да намерите производната на функция, където има непрекъсната купчина корени и степени, като например тогава добре дошли в класа "Производна на сумата от дроби със степени и корени" .

Ако трябва да научите повече за производните на синусите, косинусите, тангенсите и други тригонометрични функции, т.е. когато функцията изглежда като , тогава имате урок "Производни на прости тригонометрични функции" .

Пример 5Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме продукт, един от множителите на който е корен квадратен от независимата променлива, с чиято производна се запознахме в таблицата с производни. Съгласно правилото за диференциране на продукта и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

Пример 6Намерете производната на функция

Решение. В тази функция виждаме частното, чийто дивидент е корен квадратен от независимата променлива. Според правилото за диференциране на частното, което повторихме и приложихме в пример 4, и табличната стойност на производната на корен квадратен, получаваме:

За да се отървете от дробта в числителя, умножете числителя и знаменателя по .

Междувременно ( а,b), а х- е произволно избрана точка от дадения интервал. Нека дадем аргумент х нарастванеΔx (положителен или отрицателен).

Функцията y \u003d f (x) ще получи увеличение Δy равно на:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

За безкрайно малко Δх нарастванеΔy също е безкрайно малко.

Например:

Разгледайте решението на производната на функция, като използвате примера за свободно падане на тяло.

Тъй като t 2 \u003d t l + Δt, тогава

Изчислявайки границата, намираме:

Означението t 1 е въведено, за да се подчертае постоянството на t при изчисляване на границата на функция. Тъй като t 1 е произволна стойност на времето, индекс 1 може да отпадне; тогава получаваме:

Вижда се, че скоростта v,като начина с, Яжте функциявреме. Тип функция vзависи изцяло от вида на функцията с, така че функцията снещо като "произвежда" функция v. Оттук и името " производна функция».

Помислете за друго пример.

Намерете стойността на производната на функция:

y = x 2при х = 7.

Решение. При х = 7ние имаме y=7 2=49. Нека дадем аргумент хнарастване Δ х. Аргументът става 7 + Δ хи функцията ще получи стойността (7 + Δ x) 2.

Функционално изследване. В тази статия ще говорим за задачи, в които се разглеждат функции и в условието има въпроси, свързани с тяхното изучаване. Обмислете основните теоретични точки, които трябва да знаете и разберете, за да ги разрешите.

Това е цяла група задачи, включени в изпита по математика. Обикновено се повдига въпросът за намирането на точките на максимум (минимум) или определяне на най-голямата (най-малката) стойност на функция на даден интервал.Разглеждан:

— Степенни и ирационални функции.

— Рационални функции.

— Изучаване на произведения и частни.

— Логаритмични функции.

— Тригонометрични функции.

Ако разбирате теорията на границите, концепцията за производна, свойствата на производната за изучаване на графики на функции и нейните , тогава подобни задачи няма да ви създават затруднения и ще ги решавате с лекота.

Информацията по-долу е теоретични точки, разбирането на които ще позволи да се разбере как да се решават такива проблеми. Ще се опитам да ги формулирам по такъв начин, че дори тези, които са пропуснали тази тема или са я изучавали зле, биха могли да решат подобни задачи без много затруднения.

В задачите от тази група, както вече беше споменато, се изисква да се намери или минималната (максималната) точка на функцията, или най-голямата (най-малката) стойност на функцията на интервала.

Минимални и максимални точки.Производни свойства.

Разгледайте графиката на функцията:

Точка А е максималната точка, в интервала от О до А функцията нараства, в интервала от А до В намалява.

Точка B е минимална точка, на интервала от A до B функцията намалява, на интервала B до C нараства.

В тези точки (A и B) производната изчезва (равна на нула).

Допирателните в тези точки са успоредни на оста вол.

Ще добавя, че точките, в които функцията променя поведението си от нарастваща към намаляваща (и обратното, от намаляваща към нарастваща), се наричат екстремуми.

Важен момент:

1. Производната при нарастващи интервали има положителен знак (nПри заместване на стойност от интервала в производната се получава положително число).

Така че, ако производната в определена точка от определен интервал има положителна стойност, тогава графиката на функцията на този интервал се увеличава.

2. На интервалите на намаляване производната е с отрицателен знак (при заместване на стойността от интервала в производния израз се получава отрицателно число).

Така че, ако производната в определена точка от определен интервал има отрицателна стойност, тогава графиката на функцията на този интервал намалява.

Това трябва да стане ясно!

По този начин, като изчислите производната и я приравните към нула, можете да намерите точки, които разделят реалната ос на интервали.На всеки от тези интервали можете да определите знака на производната и след това да направите заключение за нейното увеличение или намаляване.

* Отделно трябва да се каже за точките, в които производната не съществува. Например, можем да получим производна, чийто знаменател изчезва при определено x. Ясно е, че за такова x производната не съществува. Така че, тази точка също трябва да се вземе предвид при определяне на интервалите на увеличение (намаляване).

Функцията в точки, където производната е равна на нула, не винаги променя знака си. Това ще бъде отделна статия. В самото USE няма да има такива задачи.

Горните свойства са необходими за изследване на поведението на функция при нарастване и намаляване.

Какво още трябва да знаете за решаване на посочените задачи: таблица на производните и правила за диференциране. Нищо без това. Това са основни познания по темата за производните. Трябва много добре да познаваш производните на елементарни функции.

Изчисляване на производната на сложна функцияf(ж(х)), представете си функциятаж(х) е променлива и след това изчислете производнатаf’(ж(х)) чрез таблични формули като обикновена производна на променлива. След това умножете резултата по производната на функциятаж(х) .

Гледайте видео урок от Максим Семенихин за сложна функция:

Задачи за намиране на максимални и минимални точки

Алгоритъмът за намиране на максималните (минимални) точки на функцията:

1. Намерете производната на функцията f’(х).

2. Намерете нулите на производната (като приравните производната на нула f’(х)=0 и решете полученото уравнение). Намираме и точки, в които производната не съществува(по-специално, това се отнася до дробно-рационални функции).

3. Отбелязваме получените стойности на числовата линия и определяме знаците на производната на тези интервали, като заместваме стойностите от интервалите в израза на производната.

Резултатът ще бъде един от двата:

1. Максималната точка е точкатапри което производната се променя от положителна на отрицателна.

2. Минималната точка е точкатапри което производната се променя от отрицателна на положителна.

Задачи за намиране на най-голяма или най-малка стойност

функции на интервала.

При друг тип задачи се изисква да се намери най-голямата или най-малката стойност на функция на даден интервал.

Алгоритъмът за намиране на най-голямата (най-малката) стойност на функцията:

1. Определете дали има максимални (минимални) точки. За да направим това, намираме производната f’(х) , след което решете f’(х)=0 (точки 1 и 2 от предишния алгоритъм).

2. Определяме дали получените точки принадлежат на даден интервал и записваме лежащите в него.

3. Заместваме в оригиналната функция (не в производната, а в дадената в условието) границите на дадения интервал и точките (максимум-минимум), лежащи в интервала (т. 2).

4. Изчисляваме стойностите на функцията.

5. Избираме най-голямата (най-малката) стойност от получените в зависимост от това какъв въпрос е поставен в задачата и след това записваме отговора.

Въпрос: защо в задачите за намиране на най-голямата (най-малката) стойност на функция е необходимо да се търсят максимални (минимални) точки?

Отговорът е най-добре илюстриран, вижте схематично представяне на графиките, дадени от функциите:

В случаи 1 и 2 е достатъчно да се заменят границите на интервала, за да се определи максималната или минималната стойност на функцията. В случаи 3 и 4 е необходимо да се намерят нулите на функцията (максимум-минимални точки). Ако заместим границите на интервала (без да намерим нулите на функцията), ще получим грешен отговор, това се вижда от графиките.

И работата е там, че не можем да видим как изглежда графиката на интервала (дали има максимум или минимум в рамките на интервала), използвайки дадена функция. Затова намерете нулите на функцията непременно!!!

Ако уравнението е'(х)=0 няма да има решение, това означава, че няма точки максимум-минимум (Фигура 1.2) и за да се намери зададената задача, само границите на интервала се заместват в тази функция.

Друг важен момент. Не забравяйте, че отговорът трябва да е цяло число или краен десетичен знак. При изчисляване на най-голямата и най-малката стойност на функция ще получите изрази с числото e и pi, както и изрази с корен. Не забравяйте, че не е необходимо да ги изчислявате до края и е ясно, че резултатът от такива изрази няма да бъде отговорът. Ако има желание да се изчисли такава стойност, направете го (числа: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Написах много, вероятно объркани? Чрез конкретни примери ще видите, че всичко е просто.

След това искам да ви кажа една малка тайна. Факт е, че много задачи могат да бъдат решени без да се знаят свойствата на производната и дори без правилата за диференциране. Определено ще ви разкажа за тези нюанси и ще ви покажа как се прави? не пропускайте!

Но защо тогава изобщо изложих теорията и също казах, че тя трябва да се знае непременно. Точно така – трябва да знаете. Ако го разбирате, тогава никоя задача в тази тема няма да ви обърка.

Тези „трикове“, за които ще научите, ще ви помогнат при решаването на конкретни (някои) проблеми с прототипи. Да сеКато допълнителен инструмент, тези техники, разбира се, са удобни за използване. Задачата може да се реши 2-3 пъти по-бързо и да се спести време за решаване на част C.

Всичко най-хубаво!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

В задача B9 е дадена графика на функция или производна, от която се изисква да се определи една от следните величини:

Стойността на производната в дадена точка x 0,
Високи или ниски точки (екстремни точки),
Интервали на нарастващи и намаляващи функции (интервали на монотонност).

Функциите и производните, представени в тази задача, са винаги непрекъснати, което значително опростява решението. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела на математическия анализ, тя е напълно по силите дори на най-слабите ученици, тъй като тук не се изискват задълбочени теоретични познания.

За намиране на стойността на производната, точките на екстремум и интервалите на монотонност има прости и универсални алгоритми - всички те ще бъдат разгледани по-долу.

Прочетете внимателно условието на задача B9, за да не правите глупави грешки: понякога се срещат доста обемни текстове, но има няколко важни условия, които влияят на хода на решението.

Изчисляване на стойността на производната. Метод с две точки

Ако за задачата е дадена графика на функцията f(x), допирателна към тази графика в някаква точка x 0 , и се изисква да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:

Намерете две "адекватни" точки на допирателната графика: техните координати трябва да са цели числа. Нека означим тези точки като A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Запишете координатите правилно - това е ключовата точка на решението и всяка грешка тук води до грешен отговор.
Познавайки координатите, е лесно да се изчисли увеличението на аргумента Δx = x 2 − x 1 и увеличението на функцията Δy = y 2 − y 1 .
Накрая намираме стойността на производната D = Δy/Δx. С други думи, трябва да разделите увеличението на функцията на увеличението на аргумента - и това ще бъде отговорът.

Още веднъж отбелязваме: точките A и B трябва да се търсят точно по допирателната, а не върху графиката на функцията f(x), както често се случва. Допирателната задължително ще съдържа поне две такива точки, в противен случай проблемът е формулиран неправилно.

Разгледайте точките A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете увеличенията:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Нека намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .

Помислете за точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете увеличения:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Сега намираме стойността на производната: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x 0 .

Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете увеличения:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Остава да намерим стойността на производната: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

От последния пример можем да формулираме правилото: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на контакт е равна на нула. В този случай дори не е нужно да изчислявате нищо - просто погледнете графиката.

Изчисляване на високи и ниски точки

Понякога вместо графика на функция в задача B9 се дава производна графика и се изисква да се намери точката на максимум или минимум на функцията. В този сценарий двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-прост алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:

Точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е валидно следното неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
Точката x 0 се нарича минимална точка на функцията f(x), ако в някаква околност на тази точка е валидно следното неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

За да намерите максималните и минималните точки на графиката на производната, е достатъчно да изпълните следните стъпки:

Преначертайте графиката на производната, като премахнете цялата ненужна информация. Както показва практиката, допълнителните данни само пречат на решението. Затова отбелязваме нулите на производната на координатната ос - и това е всичко.
Намерете знаците на производната на интервалите между нулите. Ако за дадена точка x 0 е известно, че f'(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f'(x 0) ≥ 0 или f'(x 0) ≤ 0. Знакът на производната е лесно се определя от оригиналния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f'(x) ≥ 0. Обратно, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f'(x) ≤ 0.
Отново проверяваме нулите и знаците на производната. Там, където знакът се променя от минус на плюс, има минимална точка. Обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Броенето винаги се извършва отляво надясно.

Тази схема работи само за непрекъснати функции - в задача B9 няма други.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на отсечката [−5; пет]. Намерете минималната точка на функцията f(x) върху тази отсечка.

Да се освободим от ненужната информация - ще оставим само границите [−5; 5] и нулите на производната x = −3 и x = 2.5. Обърнете внимание и на знаците:

Очевидно в точката x = −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана върху отсечката [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f(x) на този сегмент.

Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нулите на производната x = −1.7 и x = 5. Обърнете внимание на знаците на производната върху получената графика. Ние имаме:

Очевидно в точката x = 5 знакът на производната се променя от плюс на минус - това е максималната точка.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана върху отсечката [−6; 4]. Намерете броя на максималните точки на функцията f(x), които принадлежат на интервала [−4; 3].

От условията на задачата следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от отсечката [−4; 3]. Затова изграждаме нова графика, на която отбелязваме само границите [−4; 3] и нулите на производната вътре в него. А именно точките x = −3,5 и x = 2. Получаваме:

На тази графика има само една максимална точка x = 2. Именно в нея знакът на производната се променя от плюс на минус.

Малка бележка за точки с нецелочислени координати. Например в последната задача беше разгледана точката x = −3,5, но със същия успех можем да вземем x = −3,4. Ако проблемът е формулиран правилно, подобни промени не трябва да влияят на отговора, тъй като точките "без определено място на пребиваване" не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, с цели точки такъв трик няма да работи.

Намиране на интервали на нарастване и намаляване на функция

В такъв проблем, подобно на точките на максимум и минимум, се предлага да се намерят области, в които самата функция нараства или намалява от графиката на производната. Първо, нека дефинираме какво е възходящо и низходящо:

Функция f(x) се нарича нарастваща върху отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно твърдението: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
Функция f(x) се нарича намаляваща на отсечка, ако за всеки две точки x 1 и x 2 от тази отсечка е вярно твърдението: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тези. по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията.

Ние формулираме достатъчни условия за увеличаване и намаляване:

За да нараства непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е положителна, т.е. f'(x) ≥ 0.
За да намалява непрекъсната функция f(x) върху отсечката , достатъчно е нейната производна вътре в отсечката да е отрицателна, т.е. f'(x) ≤ 0.

Приемаме тези твърдения без доказателства. По този начин получаваме схема за намиране на интервали на увеличение и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на екстремни точки:

Премахнете цялата излишна информация. На оригиналната графика на производната се интересуваме предимно от нулите на функцията, така че оставяме само тях.
Отбележете знаците на производната на интервалите между нулите. Когато f'(x) ≥ 0, функцията нараства, а когато f'(x) ≤ 0, тя намалява. Ако проблемът има ограничения върху променливата x, ние допълнително ги маркираме на новата диаграма.
Сега, след като знаем поведението на функцията и ограничението, остава да изчислим търсената стойност в задачата.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на интервала [−3; 7.5]. Намерете интервалите на намаляваща функция f(x). В отговора си напишете сумата от цели числа, включени в тези интервали.

Както обикновено, преначертаваме графиката и маркираме границите [−3; 7.5], както и нулите на производната x = −1.5 и x = 5.3. След това отбелязваме знаците на производната. Ние имаме:

Тъй като производната е отрицателна на интервала (− 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да се сумират всички цели числа, които са вътре в този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. Фигурата показва графика на производната на функцията f(x), дефинирана на отсечката [−10; 4]. Намерете интервалите на нарастваща функция f(x). В отговора си запишете дължината на най-големия от тях.

Да се отървем от излишната информация. Оставяме само границите [−10; 4] и нули на производната, които този път се оказаха четири: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Забележете знаците на производната и получете следната картина:

Ние се интересуваме от интервалите на нарастваща функция, т.е. където f'(x) ≥ 0. Има два такива интервала на графиката: (−8; −6) и (−3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Тъй като се изисква да се намери дължината на най-големия от интервалите, в отговор записваме стойността l 2 = 5.