Гауссова кривизна поверхности - мера искривления поверхности в окрестности какой-либо её точки.

Гауссова кривизна поверхности и гиперповерхности

Гаусс ввел понятие кривизны поверхности , которое помогает выяснять то, как различаются разные кривые геометрии.

Как показал Гаусс, существует важная количественная характеристика искривления поверхности - называемая гауссовой кривизной . Смысл ее показан на рисунке. В каждой точке поверхности можно провести две "главные" линии, пересекающиеся в этой точке. На рисунке точка, где производится вычисление гауссовой кривизны, находится на месте пересечения двух черных кривых. Вблизи этой точки кривые почти не отличаются от участков окружностей с радиусами и , соответственно. Если Вы сумели вычислить радиусы этих окружностей, то гауссова кривизна равна по определению произведению обратных радиусов:

Другая величина , равная сумме обратных величин радиусов,:

называется средней кривизной поверхности в данной точке. Средняя и гауссова кривизна поверхностей быстро попали в обиход физики. Так средняя кривизна входит в формулу Лапласа для избыточного давления пара над искривленной поверхностью жидкости. Эта формула имеет прямое отношение к мыльным пузырям. Гауссова же кривизна входит в формулу для дисперсионного соотношения волн на поверхности жидкости при учете поверхностного нятяжения . Это соотношение объясняет тот факт, почему рябь на поверхности жидкости почти не движется, в то время как длинные волны бегут сравнительно быстро. Это можно легко заметить на поверхности любого открытого водоема - реки, озера, моря.

Но не только этим важна гауссова кривизна. Как доказал Гаусс, если просуммировать (взять интеграл) значения гауссовой кривизны во всех точках замкнутой (не имеющей края) поверхности и разделить полученную величину на , то получается всегда целое число :

Это целое число называется эйлеровой характеристикой замкнутой поверхности.

Удивительным здесь является то, что все замкнутые поверхности можно отнести к одному из классов, для каждого из которых число . В обиход математики и физики XIX века был привнесен способ отличать поверхности по их кривизне. Поскольку, как установил Лобачевский и его поддержал Гаусс, геометрии могут быть разными кривыми даже у нашего физического пространства, то появился способ отличать разные кривые пространства по величине кривизны будет иметь определенное значение. Например, для сферы .

В связис вышеизложенным сразу возникает вопрос, а нельзя ли получить Гаусову (Эйлерову ) характеристикузамкнутой кривой, гиперсферы и т.д.

Если в 3-мерном пространстве сферу можно определить тремя разными точками на сфере и центром, то гиперсфера определяется уже 4-мя точками и центром и, соответственно, на поверхности гиперсферы будут находится три«главных» линии. Соответственнобудет три радиуса: R1, R2, R 3

Вычислив радиусы этих окружностей, то гауссова кривизна будет равна произведению обратных радиусов:

К = 1/(R 1* R 2* R 3)

Н = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

Аналогично в каждой точке гиперповерхности можно провести три "главные" линии, не лежащие на одной поверхности, пересекающиеся в этой точке и также определить характеристикикривизны поверхности вплоть до эйлеровой , правда, это относится для замкнутой гиперповерхности.

Условно показано как бы часть гиперповерхности – гиперсферы .

Причем и сечения гиперсферы показаны как быдвумяглавными гиперсечениями , на самом деле гиперсфекра (как здесь часть ее) будет 3-мерное тело, состоящее из слоенных поверхностей 3D. Краснаялиния должна быть общей для той и другой поверхности. Точки A на гиперповерхностиопределяется:A = Ф(u ,v ,t )В двух главных сечений-поверхностей имеем три главных линии, вычислить кривизны которых уже не представляет труда.

Здесь также показаны три главных направления гиперповерхности
в пространстве 4D. В точке их пересечения средняя кривизна будет равна нулю

Вычисления параметров кривизны можно два раза с помощью метода Krivizna .

Метод : Krivizna ( st , A, Kr, Pmax , Pmin )

Входные параметры: шаг - st и точка A (u,v,0)

Kr , Pmax , Pmin – три точки (на входе пустышки)

На выходе:

Kr.x – максимальная кривизна

Kr.y – минимальная кривизна

Kr .z - Гауссова кривизна

Pmax – точка в направлении максимальной кривизны

Pmin – точка в направлении минимальной кривизны

Для нашего второго случая вычислить кривизну не удалось. Поверхности были преобразованы с помощью управляющих параметров, которые не учитываютсяпри вычислении кривизны на такой поверхности.

Вычисления (справа) произошли
на не преобразованную (слева) поверхность
(поверхностьнадо задавать через метод, а не в диалоге)

Сетки наибольших (синие линии) и наименьших (красные линии) кривизн

Вернемся к гиперповерхности.
Зададим изначально две поверхности у которых общая линия (гиперповерхность в 4D )

Справа показаны три направления главных кривизн
и точка А (u ,v ,t ) гиперповерхности

Вычисляемкривизны попарно на той и другой двумерной поверхности

На нижней поверхности - полицилиндре

На верхней полиповерхности (красная)

Направления кривизн А-К2 (с первой поверхности) =А-К1 (со второй)

Гауссова кривизна будет равна произведению трех кривизн по трем направлениям, похоже, получается равно нулю:

К = К1 * K 2 * K 2 (2-й поверхности)

Средняя кривизна гиперсферы равна сумме обратных величин радиусов:

Н = К1 + K 2 + K 2 (2-й поверхности)

Листинг формирования 2-х полиповерхностей (МК вычисления кривизн вызывается после

При условии что тта или иная поверхность в структуре должна быть последней и активной)

var O = Vector.p (0,0,0)

// ПОлиповерхность

Arc.ss (p (-2,0,0), 2, 2, 90, 270, p (1,0,0), 0)

var n31 = Vector.LastNmb ()

CurrObjNmb = n31

dubl ()

Vector.Obj.Translate (Vector.p (2, 0, 0))

CurrObjNmb = n31

dubl ()

Vector.Obj.Translate (Vector.p (4, 0, 0))

MoveToGroup (1, 4, "gr ")

//dubl ()

var n11 = Vector.LastNmb ()

Vector.PolyPov.Reset ()

Vector.PolyPov.SS (O, n11, 10, 10, 0, 0)

obj.All = 0

Arc.ss (p(-2,0,0), 2, 2, 90, 270, p(1,0,0), 0)

var n33 = Vector.LastNmb ()

Vector.Obj.Translate (Vector.p (2, 0, 0))

obj.yAngle =35

Vector.Obj.Translate (Vector.p (-3, 0, 4))

obj.All = 0

Arc.ss (

Arc.ss (p(0,0,0), 2, 2, 90, 270, p(1,0,0), 0)

obj.yAngle =35

Vector.Obj.Translate (Vector.p (2, 0, -2))

MoveToGroup (2, 5, "gr2")

dubl ()

var n11 = Vector.LastNmb ()

Vector.PolyPov.Reset ()

Vector.PolyPov.SS (O, n11, 10, 10, 0, 0)

SetFillColor (250, 0, 0)

Гауссовой кривизной поверхности в данной точке называется произведение главных кривизн

Знак гауссовой кривизны определяет характер строения поверхности вблизи рассматриваемой точки. При поверхность имеет форму чаши - одинаковых знаков) при когда и разных знаков - форму седла. Остальные случаи строения поверхности, о которых говорилось раньше, соответствуют нулевой гауссовой кривизне. Абсолютная величина гауссовой кривизны дает представление о степени общей искривленности поверхности в некотором отвлечении от распределения кривизны по разным направлениям. Это станет особенно ясным, если

обратиться к другому определению гауссовой кривизны, не опирающемуся на исследование линий на поверхности.

Рассмотрим небольшой участок поверхности содержащий внутри точку каждой точке этого участка проведем нормаль к поверхности.

Если откладывать эти нормали из одной точки, то они заполнят некоторый телесный угол (рис. 32). Величина этого телесного угла будет тем больше, чем обширнее участок и чем сильнее искривлена поверхность на этом участке.

Поэтому степень искривленности участка поверхности можно характеризовать отношением величины заполненного нормалями телесного угла к площади самого участка искривленность поверхности в данной точке естественно измерять пределом этого отношения условии, что стягивается в точку Оказывается, что этот предел равен абсолютной величине гауссовой кривизны в точке М.

Самое замечательное свойство гауссовой кривизны, определяющее ее роль в теории поверхностей, заключается в следующем. Представим себе, что рассматриваемая поверхность сделана из гибкого, но практически нерастяжимого материала, скажем, выштампована из тонкой жести. Ее кусок можно затем гнуть, изменяя его форму, но не растягивая и не разрывая материала, из которого он сделан. При этом главные кривизны

будут меняться, но, как доказал Гаусс, их произведение в каждой точке остается неизменным. Этот важнейший в теории поверхностей результат показывает, что поверхности с разной гауссовой кривизной обладают глубоким различием, состоящим в том, что, даже допуская всевозможные изгибания - деформации без растяжения и сжатия, нельзя две такие поверхности наложить друг на друга. Так, например, кусок поверхности шара никаким изгибанием нельзя «распрямить» на плоскость или наложить на поверхность шара другого радиуса.

Мы рассмотрели некоторые основные понятия, теории поверхностей. Что касается методов, которыми оперирует эта теория, то, как говорилось вначале, они состоят прежде всего в применении анализа, особенно теории дифференциальных уравнений. С простейшими примерами использования анализа мы уже имели дело при доказательстве теорем Эйлера и Менье. Отметим, что для решения более сложных вопросов употребляется еще специальный способ сведения задач теории поверхностей к задачам анализа. Этот способ основан на введении так называемых криволинейных координат и был впервые широко развит в работах Гаусса, связанных с задачами, которым посвящен следующий параграф.

От плоскостных конструкций пространственные покрытия или оболочки отличаются в первую очередь тем, что обладают кри визной по крайней мере в одном направлении. Кривизна той или иной поверхности обычно характеризуется понятием гауссовой кривизны.

Цилиндрические (рис. 11.1, а, б, в, н) и конические поверхности являются примерами криволинейных поверхностей с ну левой гауссовой кривизной . Примерами поверхностей с положи тельной гауссовой кривизной могут служить купол, эллиптический параболоид, сфера (рис.11.1, г, д, м).

Примерами поверхностей с отрицательной гауссовой кривиз ной могут служить гиперболический параболоид, гиперболоид вращения и др. (рис.11.1, е, ж, л).

Рис.11.1. Формы оболочек (примеры)

а – длинные цилиндрические оболочки; б – длинные шедовые оболочки; в– короткие цилиндрические обо лочки; г – купол; д – оболочки двоякой положительной кривизны; е, ж – оболочки двоякой отрицательной кри визны (гипоры); и – коноиды; к – многоволновый свод; л, м – висячие покрытия с круглым планом; н – висячее покрытие с прямоугольным планом

Основной принцип при выборе типа покрытия – это сочетание технической и экономической целесообразности. Общественные здания - театры, кино, концертные, спортивные, выставочные залы, рынки и другие – должны отвечать эстетическим требованиям и связанному с ними общему архитектурному замыслу и обладать архитектурной выразительностью. Решение покрытия такого здания в виде оболочки обогащает архитектурный облик сооружения и в то же время позволяет выбрать для егопокрытия легкую, экономичную конструкцию.

Рекомендации по выбору типа пространственного покрытия для зданий общественного характера могут быть даны толькопосле выяснения основных размеров здания – в плане и поперечном разрезе, ибо эти здания весьма разнообразны как по своемуназначению, так и по общему архитектурно – компановочному решению. Легче поддаются классификации производственные здания: большинство одноэтажных производственных зданий, несмотря на достаточно разнообразные технологические требования, может быть приведено к нескольким основным типам.

В первую очередь, эти требования, связанные с видом внутрицехового транспорта – наличием или отсутствием мостовых или консольных передвижных кранов, подвесных кранбалок, тельферов и конвейеров, крепящихся к покрытию; с необходимостью пропуска в пределах кровли трубопроводов, воздуховодов и прочихкоммуникаций (зачастую с весьма крупными габаритами) в одном или двух направлениях; с условиями температурно-влажностного режима здания, иногда требующего кондиционирования воздуха в цехе; с устройством световых и аэрационных фонарей или шахт на покрытии; с возведением бесфонарного здания; с созданием технического этажа, устраиваемого обычно в пределах высотыпокрытия.

Как правило, современные производственные здания должны обладать достаточно крупной сеткой колонн, рассчитанной на размещение в ней различных производств и на возможность совершенствования или изменения технологического процесса в дальнейшем, т.е. на «гибкую» технологию.

Одноэтажные производственные здания могут быть разделенына два основных типа:

Здания с пролетами 18 – 36 м и более при наиболее часто встречающемся шаге колонн 12 м; здания эти могут быть фонарными или бесфонарными, оборудованы мостовыми или подвесными кранами, тельферами, конвейерами и подвесными потолками;

Здания без мостовых кранов – с легким подвесным транспортом, где технологические линии могут располагаться в любом направлении; здесь целесообразна крупная сетка колонн, близкая к квадратной, например 24 ×24 или 36 ×36 м.

Здания первого типа могут быть перекрыты следующими видами оболочек:длинными цилиндрическими;короткими цилиндрическими;оболочками двоякой положительной гауссовой кривизны;оболочками двоякой отрицательной гауссовой кривизны;

многоволновыми сводами.

Следует отметить, что оболочки не равноценны между собой не только по показателям расхода бетона и стали, но и по своимэксплуатационным и монтажным свойствам.

Так, хотя для оболочек отрицательной гауссовой кривизны характерен малый расход материалов, зато они нуждаются в устройстве подмостей для монтажа, в изготовлении новых типоразмеров криволинейных плит для каждого нового пролета. Это снижает экономические показатели конструкции и их конкурентоспособность по сравнению с другими покрытиями.

Волнистые своды с мелкими волнами плохо работают при подвеске сосредоточенных грузов и тем самым затрудняют устройство путей для подвесных кранов.

Для покрытия «гибких» производственных зданий первого типа целесообразнее всего применять оболочки двоякой положительной кривизны или цилиндрические – длинные и короткие.

Наилучшие показатели, особенно при больших пролетах, имеют оболочки двоякой положительной гауссовой кривизны, что позволяет рекомендовать их к применению в первую очередь.

Здания второго типа целесообразно перекрывать оболочками двоякой положительной или отрицательной гауссовой кривизны с квадратным планом.

Большепролетные бескрановые здания могут быть успешно перекрыты висячими конструкциями, особенно эффективными при замкнутом, круглом или эллипсовидном плане. Архитектурная выразительность этих конструкций особенно удачно может быть использована при перекрытии общественных зданий.

Куполами, висячими оболочками перекрывают круглые или эллипсовидные в плане сооружения.

После выбора типа покрытия и его основных размеров необходимо решить вопрос о применении монолитного или сборного железобетона; в случае принятия сборных конструкций встает задача разрезки оболочки на сборные элементы, являющаяся одной из самых важных при проектировании сборных оболочек.

Предельный вес сборного элемента не должен превышать грузоподъемности транспортных средств и монтажных механизмов. Обычно длину сборного элемента принимают не более 18 м, ширина (или высота) его при перевозке по железной дороге не должна превышать 3,7 м.

При подъеме, складировании и перевозке элементы конструкции работают по статической схеме, весьма отличающейся от эксплуатационной, поэтому сборные элементы проверяются по прочности и деформативности в период транспортирования и монтажа.

Конструкцию стыка элементов сборных оболочек выбирают в зависимости от характера и интенсивности усилий, действующих в стыке.

Стыки во всех случаях необходима заполнять бетоном. Для обеспечения плотного заполнения шва ширину его следует назначать не менее 30 мм, если толщина (высота) элемента в месте стыка не превышает 100 мм, и не менее 50 мм, если толщина элемента в месте стыка более 100 мм.

Если через стык сборных элементов оболочки передается сжимающее усилие, приложенное центрально или внецентренно (но с эксцентриситетом в пределах ядра сечения), и небольшие сдвигающие силы, то достаточно ограничиться конструктивным армированием стыка, соединением выпусков арматуры внахлестку.

Растягивающие и сдвигающие усилия, передаваемые через стык, могут быть восприняты арматурой, предусматриваемой в швах; выпуски арматуры сборных элементов оболочки в монтажных стыках соединяют сваркой.

Арматура сборных элементов оболочки может также соединяться с помощью привариваемых к ней закладных деталей, которые на монтаже соединяются между собой накладками на сварке. Сечение накладок и длину сварных швов определяют расчетом.

Если через стык передаются значительные сдвигающие силы, то очертание граней соединяемых элементов должно приниматься такой формы, чтобы после замоно-личивания в швах образовывались бетонные шпонки, препятствующие взаимному сдвигу элементов.

Предварительное напряжение контурных конструкций в пространственных покрытиях весьма целесообразно, поскольку оно не только повышает трещиностойкость растянутых областей, но в ряде случаев являетсяпростым средством объединения сборных элементов вединую систему.

В областях двухосного сжатия оболочки необходима проверка ее устойчивости. Сборные элементы должны быть проверены на прочность от усилий, возникающих в них при изготовлении и перевозке.

Подбор арматуры и конструирование тонкостенных пространственных конструкций производятся в соответствии с нормальными и касательными усилиями, а также изгибающими моментами, которые в них действуют. Максимальное значение главных сжимающих напряжений не должно превышать R b . В зонах, где арматура по расчету не требуется, ее ставят конструктивно площадью не менее 0,2 % сечения бетона с шагом стержней 20 – 25 см. При толщине плиты более 8 см рекомендуется ставить двойные сетки.

В зонах, где главные растягивающие напряжения больше R bt , усилия должны полностью восприниматься арматурой, поставленной либо в виде стержней, уложенных в близком соответствии с траекториями главных растягивающих напряжений, либо в виде сеток из продольных и поперечных стержней. Если же главные растягивающие напряжения более 3×R bt , то оболочку в этих местах рекомендуется утолстить.

Сечение арматуры для восприятия изгибающих моментов в гладких оболочках определяют как в плитах. При этом арматуру устанавливают соответственно эпюре моментов в растянутой зоне с минимальным защитным слоем бетона.

Примыкания плиты к бортовым элементам и диафрагмам следует делать плавными и армировать двойными сетками из стержней диаметром 6 –10 мм с шагом неболее 20 см.

Гауссова кривизна служит для классификации поверхностей

Если оба радиуса находятся с одной стороны поверхности (оба радиуса или положительны, или отрицательны, к>0), пятно касания к поверхности эллиптическое (рис. 2,30. а), если R1 = R2, то поверхность шаровая.

Если знаки радиусов R1 и R2 различны (к<0), то есть они расположены с разных сторон поверхности, окрестность точки М расположена на гиперболической седловидной поверхности (рис. 2,30. в)

Если один из радиусов кривизны равен бесконечности (к = 0), то поверхность цилиндрическая или конусообразная, пятно касания параболическое (рис. 2.30, б).

Рис. 23. Поверхности гауссовой кривизны: а - положительной к > 0; б - нулевой к = 0; в - отрицательной к < О

Висячие и тентовые конструкции чаще всего являются поверхностями отрицательной гауссовой кривизны (к < 0).

Рис. 24

Слева направо: поверхность с отрицательной гауссовой кривизной (гиперболоид), поверхность с нулевой гауссовой кривизной (цилиндр), и поверхность с положительной гауссовой кривизной (сфера).

Рис. 25

1. Однопоясные. К однопоясным висячим покрытиям относятся: системы, состоящие из несущих гибких стержней или тросов, стабилизация которых достигается массой уложенного по ним настила, предварительно обжатого с торцов и омоноличенного в стыках. Системы, состоящие из жестких нитей или ферм. Системы из гибких нитей, напрягаемые поперечными балками или фермами. Преимуществом таких покрытий являются большая жесткость и огнестойкость конструкции, меньшие эксплуатационные расходы по сравнению с другими оболочками, а недостатком -- большая собственная масса покрытия, требующая повышенного расхода стали на тросы и материала на поддерживающие конструкции. Стабилизация таких систем осуществляется в основном за счет собственного веса, что характерно для тяжелых железобетонных покрытий.

Рис.26

2. Двухпоясными системами называются такие, которые состоят из двух гибких нитей, расположенных друг над другом, связанных между собой распорками или растяжками и совместно работающими на восприятие внешних нагрузок. Совместная работа нитей обеспечивается предварительным напряжением, что позволяет уменьшить упругие деформации и кинематические перемещения по сравнению с однопоясными системами и создает условия для применения легких кровель.

Рис.27

1 - несущая ванта;
2 - стабилизирующий трос;
3 - оттяжки;
4 - опора;
5 - жёсткие распорки;
6 - гибкие затяжки
3. Мембранные конструкции. Мембранные покрытия представляют собой пространственную конструкцию, состоящую из тонкого металлического листа и жесткого опорного контура. Тонкий лист обладает пренебрежимо малой изгибной жесткостью, поэтому работает главным образом на растяжение, что позволяет наиболее полно использовать несущую способность металла и по сравнению с другими плоскостными и пространственными конструкциями получать минимальную массу покрытия. Отличительная особенность мембранных покрытий от других типов висячих конструкций--совмещение в одном материале несущих и ограждающих функций, за счет чего достигается дополнительное облегчение конструкции и снижение металлоемкости.

Рис. 28

4. Седловидные висячие покрытия обычно состоят из систем пересекающихся тросов (вогнутых и выпуклых), образующих сетку, либо представляют собой оболочку в форме гиперболического параболоида. Большинство таких конструкций выполняется с предварительным напряжением. Снижение деформативности и повышение стабилизации висячей системы может быть достигнуто путем использования покрытий, имеющих форму поверхностей в виде гиперболических параболоидов (гипаров), с отрицательной гауссовой кривизной. Эти покрытия малодеформативны при действии неравномерных нагрузок и не нуждаются в специальной стабилизирующей конструкции. Такие конструкции состоят из систем тросов в двух взаимно-перпендикулярных направлениях. Тросы, имеющие провес вниз, обычно называются несущими, а перпендикулярные им и имеющие провес вверх - стабилизирующими или натягивающими.

Рис.29

Рис. 30

5. Изгибо-жесткие нити. Нити выполняются в виде изогнутых сварных или прокатных двутавровых профилей или в виде изогнутых или прямолинейных ферм. Существенным преимуществом системы является возможность устройства легкой кровли и отсутствие необходимости в предварительном напряжении (его роль выполняет изгибная жесткость элементов), что значительно облегчает как сами несущие, так и опорные конструкции.
6. Комбинированная висячая конструкция. Технический результат - снижение материалоемкости, трудоемкости монтажа и демонтажа, а также стоимости конструкции. Висячая конструкция содержит балку жесткости, установленную на опоры, ванты-оттяжки, закрепленные своими верхними концами за опоры-пилоны, а нижними концами связанные с балкой жесткости с помощью узлов подвески. В узлах подвески использованы хомуты с блоками, являющиеся натяжными устройствами, поддерживающими балку жесткости в двух местах. Ванты-оттяжки пропущены под блоками хомутов и натянуты контролируемым усилием для создания необходимого предварительного напряжения и выгиба

в балке жесткости. В верхней части хомута может быть установлен стальной башмак, снабженный блоком под ванты-оттяжки, а в нижней части опорная плита, стальной башмак и опорная плита соединены парой тяг, верхние концы которых снабжены установленными в основании башмака тарировочными пружинами и силоизмерителями. Ванты-оттяжки могут быть направлены к балке жесткости под одинаковыми углами и параллельны друг другу. Балка жесткости может быть снабжена вклеенными в нее штырями в местах опирания на хомуты. Все узлы конструкции могут быть выполнены сборно-разборными.