Изгиб - вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым .

Если при прямом или косом изгибе в поперечном сечении бруса действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб . Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб .

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого поперечного изгиба не употребляют и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом.

См. также

Ссылки

• Расчётные данные для типовых балок постоянного сечения

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Изгиб (механика)" в других словарях:

У этого термина существуют и другие значения, см. Стержень. Стержень тело удлиненной формы, два размера которого (высота и ширина) малы по сравнению с третьим размером (длиной) В таком же значении иногда используют термин «брус», а… … Википедия

осесимметричный изгиб круглой пластинки - Деформированное состояние осесимметричной круглой пластинки, при котором срединная плоскость переходит в поверхность вращения. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической… …

цилиндрический изгиб пластинки - Деформированное состояние пластинки, при котором срединная плоскость переходит в цилиндрическую поверхность. [Сборник рекомендуемых терминов. Выпуск 82. Строительная механика. Академия наук СССР. Комитет научно технической терминологии. 1970 г.]… … Справочник технического переводчика

Плита пластина, нагруженная перпендикулярно её плоскости и работающая преимущественно на изгиб из собственной плоскости. Плоскость, которая делит толщину пластины пополам, называется срединной плоскостью плиты. Поверхность, в которую… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Брус. Брус (в механике материалов и конструкций) модель тела, у которого один из размеров гораздо больше двух других. При расчётах брус заменяют его продольной осью. В строительной механике… … Википедия

косой изгиб - Деформация бруса, при которой силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных центральных осей его поперечного сечения. Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN asymmetric bending … Справочник технического переводчика

плоский изгиб - Деформация бруса, при которой все нагрузки приложены в одной плоскости, называемой силовой. Тематики строительная механика, сопротивление материалов EN flat bending … Справочник технического переводчика

прямой изгиб - Деформация бруса, при которой линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения совпадает с одной из его главных центральных осей. Тематики строительная механика, сопротивление… … Справочник технического переводчика

РОДЫ - РОДЫ. Содержание: I. Определение понятия. Изменения в организме во время Р. Причины наступления Р..................... 109 II. Клиническое течение физиологических Р. . 132 Ш. Механика Р. ................. 152 IV. Ведение Р.................. 169 V … Большая медицинская энциклопедия

Механик Императорской Академии Наук, член Императорского Вольного экономического общества. Сын мещанина Нижнего Новгорода, род. в Нижнем Новгороде 10 апреля 1735 г., ум. там же 30 июля 1818 г. Кулибин предназначался отцом торговать мукой, но он с … Большая биографическая энциклопедия

Книги

• Техническая механика (сопротивление материалов). Учебник для СПО , Ахметзянов М.Х.. Книга охватывает основные вопросы прочности, жесткости и устойчивости стержня при статических и динамических воздействиях. Рассмотрены простые (растяжение-сжатие, сдвиг, плоский изгиб и…

Прямой изгиб – это вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила.

Чистый изгиб – это частный случай прямого изгиба, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю.

Пример чистого изгиба – участок CD на стержне AB . Изгибающий момент – это величина Pa пары внешних сил, вызывающая изгиб. Из равновесия части стержня слева от поперечного сечения mn следует, что внутренние усилия, распределенные по этому сечению, статически эквивалентны моменту M , равному и противоположно направленному изгибающему моменту Pa .

Чтобы найти распределение этих внутренних усилий по поперечному сечению, необходимо рассмотреть деформацию стержня.

В простейшем случае стержень имеет продольную плоскость симметрии и подвергается действию внешних изгибающих пар сил, находящихся в этой плоскости. Тогда изгиб будет происходить в той же плоскости.

Ось стержня nn 1 – это линия, проходящая через центры тяжести его поперечных сечений.

Пусть поперечное сечение стержня – прямоугольник. Нанесем на его грани две вертикальные линии mm и pp . При изгибе эти линии остаются прямолинейными и поворачиваются так, что остаются перпендикулярными продольным волокнам стержня.

Дальнейшая теория изгиба основана на допущении, что не только линии mm и pp , но все плоское поперечное сечение стержня остается после изгиба плоским и нормальным к продольным волокнам стержня. Следовательно, при изгибе поперечные сечения mm и pp поворачиваются относительно друг друга вокруг осей, перпендикулярных плоскости изгиба (плоскости чертежа). При этом продольные волокна на выпуклой стороне испытывают растяжение, а волокна на вогнутой стороне – сжатие.

Нейтральная поверхность – это поверхность, не испытывающая деформации при изгибе. (Сейчас она расположена перпендикулярно чертежу, деформированная ось стержня nn 1 принадлежит этой поверхности).

Нейтральная ось сечения – это пересечение нейтральной поверхности с любым с любым поперечным сечением (сейчас тоже расположена перпендикулярно чертежу).

Пусть произвольное волокно находится на расстоянии y от нейтральной поверхности. ρ – радиус кривизны изогнутой оси. Точка O – центр кривизны. Проведем линию n 1 s 1 параллельно mm . ss 1 – абсолютное удлинение волокна.

Относительное удлинение ε x волокна

Из этого следует, что деформации продольных волокон пропорциональны расстоянию y от нейтральной поверхности и обратно пропорциональны радиусу кривизны ρ .

Продольное удлинение волокон выпуклой стороны стержня сопровождается боковым сужением , а продольное укорочение вогнутой стороны – боковым расширением , как в случае простого растяжения и сжатия. Из-за этого вид всех поперечных сечений меняется, вертикальные стороны прямоугольника становятся наклонными. Деформация в боковом направлении z :

μ – коэффициент Пуассона.

Вследствие такого искажения все прямые линии поперечного сечения, параллельные оси z , искривляются так, чтоб остаться нормальными к боковым сторонам сечения. Радиус кривизны этой кривой R будет больше, чем ρ в таком же отношении, в каком ε x по абсолютной величине больше чем ε z , и мы получим

Этим деформациям продольных волокон отвечают напряжения

Напряжение в любом волокне пропорционально его расстоянию от нейтральной оси n 1 n 2 . Положение нейтральной оси и радиус кривизны ρ – две неизвестные в уравнении для σ x – можно определить из условия, что усилия, распределенные по любому поперечному сечению, образуют пару сил, которая уравновешивает внешний момент M .

Все вышесказанное также справедливо, если стержень не имеет продольную плоскость симметрии, в которой действует изгибающий момент, лишь бы только изгибающий момент действовал в осевой плоскости, которая заключает в себе одну из двух главных осей поперечного сечения. Эти плоскости называются главными плоскостями изгиба .

Когда имеется плоскость симметрии и изгибающий момент действует в этой плоскости, прогиб происходит именно в ней. Моменты внутренних усилий относительно оси z уравновешивают внешний момент M . Моменты усилий относительно оси y взаимно уничтожаются.

Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок 1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям 1.3. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям (точкам) 1.4. Расчёты на прочность при прямом изгибе балок 1.5. Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок 1.6. Понятие о центре изгиба 1.7. Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия деформации балок и условия их жёсткости 1.8. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 1.9. Метод непосредственного интегрирования 1.10. Примеры определения перемещений в балках методом непосредственного интегрирования 1.11. Физический смысл постоянных интегрирования 1.12. Метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки) 1.13. Примеры определения перемещений в балке по методу начальных параметров 1.14. Определение перемещений по методу Мора. Правило А.К. Верещагина 1.15. Вычисление интеграла Мора по правилу А.К. Верещагина 1.16. Примеры определения перемещений посредством интеграла Мора Библиографический список 4 1. Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб. 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Прямым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. В частном случае, поперечная сила может быть равна нулю, тогда изгиб называется чистым. При плоском поперечном изгибе все силы расположены в одной из главных плоскостей инерции стержня и перпендикулярны его продольной оси, в той же плоскости расположены моменты (рис. 1.1, а,б). Рис. 1.1 Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила в сечении m-n балки (рис. 1.2, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, и отрицательной – в противоположном случае (рис. 1.2, б). Рис. 1.2 Вычисляя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева от сечения, берут со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус, если вниз. Для правой части балки – наоборот. 5 Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центральной оси z сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент в сечении m-n балки (рис. 1.3, а) считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по стрелке часов, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае (рис. 1.3, б). Рис. 1.3 При вычислении изгибающего момента в данном сечении моменты внешних сил, лежащие слева от сечения, считаются положительными, если они направлены по ходу часовой стрелки. Для правой части балки – наоборот. Удобно определять знак изгибающего момента по характеру деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении отсечённая часть балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. растягиваются нижние волокна. В противоположном случае изгибающий момент в сечении отрицательный. Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью нагрузки q существуют дифференциальные зависимости. 1. Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки, т.е. . (1.1) 2. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе, т. е. (1.2) 3. Вторая производная по абсциссе сечения равна интенсивности распределённой нагрузки, т. е. (1.3) Распределенную нагрузку, направленную вверх, считаем положительной. Из дифференциальных зависимостей между М, Q, q вытекает ряд важных выводов: 1. Если на участке балки: а) поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает; б) поперечная сила отрицательна, то изгибающий момент убывает; в) поперечная сила равна нулю, то изгибающий момент имеет постоянное значение (чистый изгиб); 6 г) поперечная сила проходит через нуль, меняя знак с плюса на минус, max M M, в противоположном случае M Mmin. 2. Если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону. 3. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия нагрузки (в случае построения эпюры М со стороны растянутых волокон). 4. В сечении под сосредоточенной силой эпюра Q имеет скачок (на величину силы), эпюра М - излом в сторону действия силы. 5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента. На эпюре Q это не отражается. При сложном нагружении балки строят эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Эпюрой Q(M) называется график, показывающий закон изменения поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки. На основе анализа эпюр М и Q устанавливают опасные сечения балки. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх, а отрицательные – вниз от базисной линии, проводимой параллельно продольной оси балки. Положительные ординаты эпюры М откладываются вниз, а отрицательные – вверх, т. е. эпюра М строится со стороны растянутых волокон. Построение эпюр Q и М для балок следует начинать с определения опорных реакций. Для балки с одним защемленным и другим свободным концами построение эпюр Q и М можно начинать от свободного конца, не определяя реакций в заделке. 1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям Балка разбивается на участки, в пределах которых функции для изгибающего момента и поперечной силы остаются постоянными (не имеют разрывов). Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил, пар сил и места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом участке берется произвольное сечение на расстоянии х от начала координат, и для этого сечения составляются уравнения для Q и М. По этим уравнениям строятся эпюры Q и M. Пример 1.1 Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для заданной балки (рис. 1.4,а). Решение: 1. Определение реакций опор. Составляем уравнения равновесия: из которых получаем Реакции опор определены правильно. Балка имеет четыре участка Рис. 1.4 нагружения: СА, AD, DB, BE. 2. Построение эпюры Q. Участок СА. На участке СА 1проводим произвольное сечение 1-1 на расстоянии x1 от левого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 1-1: 1 Q 3 0 кН. Знак минус взят потому, что сила, действующая слева от сечения, направлена вниз. Выражение для Q не зависит от переменной x1. Эпюра Q на этом участке изобразится прямой, параллельной оси абсцисс. Участок AD. На участке проводим произвольное сечение 2-2 на расстоянии x2 от левого конца балки. Определяем Q2 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 2-2: Величина Q постоянна на участке (не зависит от переменной x2). Эпюра Q на участке представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Участок DB. На участке проводим произвольное сечение 3-3 на расстоянии x3 от правого конца балки. Определяем Q3 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 3-3: . Полученное выражение есть уравнение наклонной прямой линии. Участок BE. На участке проводим сечение 4-4 на расстоянии x4 от правого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 4-4: Здесь знак плюс взят потому, что равнодействующая нагрузка справа от сечения 4-4 направлена вниз. По полученным значениям строим эпюры Q (рис. 1.4, б). 3. Построение эпюры М. Участок СА м1. Определяем изгибающий момент в сечении 1-1 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 1-1. – уравнение прямой. Участок. 3Определяем изгибающий момент в сечении 2-2 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 2-2. – уравнение прямой. Участок. 4Определяем изгибающий момент в сечении 3-3 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 3-3. – уравнение квадратной параболы. 9 Находим три значения на концах участка и в точке с координатой xk , где так как здесь имеем кНм. Участок. 1Определяем изгибающий момент в сечении 4-4 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 4-4. – уравнение квадратной параболы находим три значения M4: По полученным значениям строим эпюру М (рис. 1.4, в). На участках CA и AD эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс, а на участках DB и BE – наклонными прямыми. В сечениях C, A и B на эпюре Q имеют место скачки на величину соответствующих сил, что служит проверкой правильности построения эпюры Q. На участках, где Q 0, моменты возрастают слева направо. На участках, гдеQ 0, моменты убывают. Под сосредоточенными силами имеются изломы в сторону действия сил. Под сосредоточенным моментом имеет место скачок на величину момента. Это указывает на правильность построения эпюры М. Пример 1.2 Построить эпюры Q и М для балки на двух опорах, нагруженной распределенной нагрузкой, интенсивность которой меняется по линейному закону (рис. 1.5, а). Решение Определение реакций опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна площади треугольника, представляющего собой эпюру нагрузки и приложена в центре тяжести этого треугольника. Составляем суммы моментов всех сил относительно точек А и В: Построение эпюры Q. Проведем произвольное сечение на расстоянии x от левой опоры. Ордината эпюры нагрузки, соответствующая сечению, определяется из подобия треугольников Равнодействующая той части нагрузки, которая распложена слева от сечения Поперечная сила в сечении равна Поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы Приравнивая уравнение поперечной силы нулю, находим абсциссу того сечения, в котором эпюра Q переходит через нуль: Эпюра Q представлена на рис. 1.5, б. Изгибающий момент в произвольном сечении равен Изгибающий момент изменяется по закону кубической параболы: Максимальное значение изгибающий момент имеет в сечении, где Q 0, т. е. при Эпюра М представлена на рис. 1.5, в. 1.3. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям (точкам) Используя дифференциальные зависимости между М, Q, q и выводы, вытекающие из них, целесообразно строить эпюры Q и М по характерным сечениям (без составления уравнений). Применяя этот способ, вычисляют значения Q и М в характерных сечениях. Характерными сечениями являются граничные сечения участков, а также сечения, где данный внутренний силовой фактор имеет экстремальное значение. В пределах между характерными сечениями очертание 12 эпюры устанавливается на основе дифференциальных зависимостей между М, Q, q и выводами, вытекающими из них. Пример 1.3 Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на рис. 1.6, а. Построение эпюр Q и М начинаем от свободного конца балки, при этом реакции в заделке можно не определять. Балка имеет три участка нагружения: АВ, ВС, CD. На участках АВ и ВС распределенная нагрузка отсутствует. Поперечные силы постоянны. Эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра М ограничена прямыми, наклонными к оси абсцисс. На участке CD имеется равномерно распределенная нагрузка. Поперечные силы изменяются по линейному закону, а изгибающие моменты – по закону квадратной параболы с выпуклостью в сторону действия распределенной нагрузки. На границе участков АВ и ВС поперечная сила изменяется скачкообразно. На границе участков ВС и CD скачкообразно изменяется изгибающий момент. 1. Построение эпюры Q. Вычисляем значения поперечных сил Q в граничных сечениях участков: По результатам расчетов строим эпюру Q для балки (рис. 1, б). Из эпюры Q следует, что поперечная сила на участке CD равна нулю в сечении, отстоящем на расстоянии qa a q  от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент имеет максимальное значение. 2. Построение эпюры М. Вычисляем значения изгибающих моментов в граничных сечениях участков: При Kx3 мaаксимальный момент на участке По результатам расчетов строим эпюру М (рис. 5.6, в). Пример 1.4 По заданной эпюре изгибающих моментов (рис. 1.7, а) для балки (рис. 1.7, б) определить действующие нагрузки и построить эпюру Q. Кружком обозначена вершина квадратной параболы. Решение: Определим нагрузки, действующие на балку. Участок АС загружен равномерно распределённой нагрузкой, так как эпюра М на этом участке – квадратная парабола. В опорном сечении В к балке приложен сосредоточенный момент, действующий по часовой стрелке, так как на эпюре М имеем скачок вверх на величину момента. На участке СВ балка не нагружена, т. к. эпюра М на этом участке ограничена наклонной прямой. Реакция опоры В определяется из условия, что изгибающий момент в сечении С равен нулю, т. е. Для определения интенсивности распределенной нагрузки составим выражение для изгибающего момента в сечении А как сумму моментов сил справа и приравняем к нулю Теперь определим реакцию опоры А. Для этого составим выражение для изгибающих моментов в сечении как сумму моментов сил слева откуда Рис. 1.7 Проверка Расчетная схема балки с нагрузкой показана на рис. 1.7, в. Начиная с левого конца балки, вычисляем значения поперечных сил в граничных сечениях участков: Эпюра Q представлена на рис. 1.7, г. Рассмотренная задача может быть решена путем составления функциональных зависимостей для М, Q на каждом участке. Выберем начало координат на левом конце балки. На участке АС эпюра М выражается квадратной параболой, уравнение которой имеет вид Постоянные а, b, с находим из условия, что парабола проходит через три точки с известными координатами: Подставляя координаты точек в уравнение параболы, получим: Выражение для изгибающего момента будет Дифференцируя функцию М1, получим зависимость для поперечной cилы После дифференцирования функции Q получим выражение для интенсивности распределённой нагрузки На участке СВ выражение для изгибающего момента представляется в виде линейной функции Для определения постоянных а и b используем условия, что данная прямая проходит через две точки, координаты которых известны Получим два уравнения: из которых имеем a 10, b  20. Уравнение для изгибающего момента на участке СВ будет После двукратного дифференцирования М2 найдём По найденным значениям М и Q строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки. Помимо распределённой нагрузки к балке прикладываются сосредоточенные силы в трех сечениях, где на эпюре Q имеются скачки и сосредоточенные моменты в том сечении, где на эпюре М имеется скачок. Пример 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) определить рациональное положение шарнира С, при котором наибольший изгибающий момент в пролете равен изгибающему моменту в заделке (по абсолютной величине). Построить эпюры Q и М. Решение Определение реакций опор. Несмотря на то, что общее число опорных связей равно четырем, балка статически определима. Изгибающий момент в шарнире С равен нулю, что позволяет составить дополнительное уравнение: сумма моментов относительно шарнира всех внешних сил, действующих по одну сторону от этого шарнира, равна нулю. Составим сумму моментов всех сил справа от шарнира С. Эпюра Q для балки ограничена наклонной прямой, так как q = const. Определяем значения поперечных сил в граничных сечениях балки: Абсцисса xK сечения, где Q = 0, определяется из уравнения откуда Эпюра М для балки ограничена квадратной параболой. Выражения для изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0, и в заделке записываются соответственно так: Из условия равенства моментов получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра х: Реальное значение. Определяем численные значения поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки На рис.1.8, б показана эпюра Q, а на рис. 1.8, в – эпюра М. Рассмотренную задачу можно было решить способом расчленения шарнирной балки на составляющие ее элементы, как это показано на рис. 1.8, г. В начале определяются реакции опор VC и VB . Строятся эпюры Q и М для подвесной балки СВ от действия приложенной к ней нагрузки. Затем переходят к основной балке АС, нагрузив ее дополнительной силой VC , являющейся силой давления балки СВ на балку АС. После чего строят эпюры Q и М для балки АС. 1.4. Расчеты на прочность при прямом изгибе балок Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям. При прямом изгибе балки в поперечных сечениях ее возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 1.9). Нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом, касательные напряжения связаны с поперечной силой. При прямом чистом изгибе касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки определяются по формуле (1.4) где M – изгибающий момент в данном сечении; Iz – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z; y – расстояние от точки, где определяется нормальное напряжение, до нейтральной оси z. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольшей величины в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси Если сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 1.11), то Рис. 1.11 наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы и определяются по формуле – осевой момент сопротивления сечения при изгибе. Для прямоугольного сечения шириной b высотой h: (1.7) Для круглого сечения диаметра d: (1.8) Для кольцевого сечения (1.9) где d0 и d – соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Для балок из пластичных материалов наиболее рациональными являются симметричные 20 формы сечений (двутавровое, коробчатое, кольцевое). Для балок из хрупких материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, рациональными являются сечения, несимметричные относительно нейтральной оси z (тавр., П-образное, несимметричный двутавр). Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при симметричных формах сечений условие прочности записывается так: (1.10) где Mmax – максимальный изгибающий момент по модулю; – допускаемое напряжение для материала. Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при несимметричных формах сечений условие прочности записывается в следующем виде: Для балок из хрупких материалов с сечениями, несимметричными относительно нейтральной оси, в случае, если эпюра М однозначна (рис. 1.12), нужно записать два условия прочности где yP,max , yC,max – расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек соответственно растянутой и сжатой зон опасного сечения; – допускаемые напряжения соответственно на растяжение и сжатие. Рис.1.12. 21 Если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков (рис. 1.13), то помимо проверки сечения 1-1, где действуетMmax, необходимо произвести расчет по наибольшим растягивающим напряжениям для сечения 2-2 (с наибольшим моментом противоположного знака). Рис. 1.13 Наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям в ряде случаев приходится делать проверку прочности балки по касательным напряжениям. Касательные напряжения в балки вычисляются по формуле Д. И. Журавского (1.13) где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; Szотс – статический момент относительно нейтральной оси площади части сечения, расположенной по одну сторону прямой, проведенной через данную точку и параллельной оси z; b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки; Iz – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z. Во многих случаях максимальные касательные напряжения возникают на уровне нейтрального слоя балки (прямоугольник, двутавр, круг). В таких случаях условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде, (1.14) где Qmax – наибольшая по модулю поперечная сила; – допускаемое касательное напряжение для материала. Для прямоугольного сечения балки условие прочности имеет вид 22 (1.15) А – площадь поперечного сечения балки. Для круглого сечения условие прочности представляется в виде (1.16) Для двутаврового сечения условие прочности записывается так: (1.17) где Szо,тmсax – статический момент полусечения относительно нейтральной оси; d – толщина стенки двутавра. Обычно размеры поперечного сечения балки определяются из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверка прочности балок по касательным напряжениям производится в обязательном порядке для коротких балок и балок любой длинны, если вблизи опор имеются сосредоточенные силы большой величины, а также для деревянных, клёпанных и сварных балок. Пример 1.6 Проверить прочность балки коробчатого сечения (рис. 1.14) по нормальным и касательным напряжениям, если 0 МПа. Построить эпюры в опасном сечении балки. Рис. 1.14 Решение 23 1. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям. Рассматривая левую часть балки, получим Эпюра поперечных сил представлена на рис. 1.14,в. . Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.14, г. 2. Геометрические характеристики поперечного сечения 3. Наибольшие нормальные напряжения в сечение С, где действует Mmax (по модулю): Максимальные нормальные напряжения в балке практически равны допускаемым. 4. Наибольшие касательные напряжения в сечении С (или А), где действует – статический момент площади полусечения относительно нейтральной оси; b2 см – ширина сечения на уровне нейтральной оси. 5. Касательные напряжения в точке (в стенке) в сечении С: Здесь – статический момент площади части сечения, расположенной выше линии, проходящей через точку K1; b2 см – толщина стенки на уровне точки K1. Эпюры для сечения С балки показаны рис. 1.15. Пример 1.7 Для балки, показанной на рис. 1.16, а, требуется: 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным сечениям (точкам). 2. Определить размеры поперечного сечения в виде круга, прямоугольника и двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, сравнить площади сечений. 3. Проверить подобранные размеры сечений балок по касательным напряжения. Решение: 1. Определяем реакции опор балки откуда Проверка: 2. Построение эпюр Q и М. Значения поперечных сил в характерных сечениях балки На участках CA и AD интенсивность нагрузки q = const. Следовательно, на этих участках эпюра Q ограничивается прямыми, наклонными к оси. На участке DB интенсивность распределенной нагрузки q = 0, следовательно, на этом участке эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси х. Эпюра Q для балки показана на рис. 1.16,б. Значения изгибающих моментов в характерных сечениях балки: На втором участке определяем абсциссу x2 сечения, в котором Q = 0: Максимальный момент на втором участке Эпюра М для балки показана на рис. 1.16, в. 2. Составляем условие прочности по нормальным напряжениям откуда определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения из выражения определяемый требуемый диаметр d балки круглого сечения Площадь круглого сечения Для балки прямоугольного сечения Требуемая высота сечения Площадь прямоугольного сечения Определяем требуемый номер двутавровой балки. По таблицам ГОСТ 8239-89 находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления которое соответствует двутавру № 33 с характеристиками: Проверка на допуск: (недогрузка на 1 % от допустимого 5 %) ближайший двутавр № 30 (W  472 см3) приводит к значительной перегрузке (более 5%). Окончательно принимаем двутавр № 33. Сравниваем площади круглого и прямоугольного сечений с наименьшей площадью А двутавра: Из трех рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое сечение. 3. Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении 27 двутавровой балки (рис. 1.17, а): Нормальные напряжения в стенке около полки двутаврового сечения балки Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки показана на рис. 1.17, б. 5. Определяем наибольшие касательные напряжения для подобранных сечений балки. а) прямоугольное сечение балки: б) круглое сечение балки: в) двутавровое сечение балки: Касательные напряжения в стенке около полки двутавра в опасном сечении А (справа) (в точке 2): Эпюра касательных напряжений в опасных сечениях двутавра показана на рис. 1.17,в. Максимальные касательные напряжения в балке не превышают допускаемых напряжений. Пример 1.8 Определить допускаемую нагрузку на балку (рис. 1.18, а), если размеры поперечного сечения заданы (рис. 1.19, а). Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки при допускаемой нагрузке. Рис 1.18 1. Определение реакций опор балки. Ввиду симметрии системы VVB A8qa . 29 2. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям. Поперечные силы в характерных сечениях балки: Эпюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Изгибающие моменты в характерных сечениях балки Для второй половины балки ординаты М – по осям симметрии. Эпюра М для балки показана на рис. 1.18, б. 3.Геометрические характеристики сечения (рис. 1.19). Разбиваем фигуру на два простейших элемента: двутавр – 1 и прямоугольник – 2. Рис. 1.19 По сортаменту для двутавра № 20 имеем Для прямоугольника: Статический момент площади сечения относительно оси z1 Расстояние от оси z1 до центра тяжести сечения Момент инерции сечения относительно главной центральной оси z всего сечения по формулам перехода к параллельным осям 4. Условие прочности по нормальным напряжениям для опасной точки «а» (рис. 1.19) в опасном сечении I (рис. 1.18): После подстановки числовых данных 5. При допускаемой нагрузке q в опасном сечении нормальные напряжения в точках «а» и «b» будут равны: Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения 1-1 показана на рис. 1.19, б. Пример 1.9 Определить требуемые размеры поперечного сечения чугунной балки (рис. 1.20.), предварительно выбрав рациональное расположение сечения. Принять Решение 1. Определение реакций опор балки. 2. Построение эпюр Q и М. Эпюры представлены на рис. 1.20, в,г. Наибольший (по модулю) изгибающий момент возникает в сечении «b». В этом сечении растянутые волокна расположены вверху. Большая часть материала должна располагаться в растянутой зоне. Следовательно, рационально расположить сечение балки так, как показано на рис. 1.20, б. 3. Определение положения центра тяжести сечения (по аналогии с предыдущим примером): 4. Определение момента инерции сечения относительно нейтральной оси: 5. Определение требуемых размеров сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям. Обозначим y соответственно расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных точек в зонах растяжения и сжатия (для сечения В): , то опасными являются точки растянутой зоны, наиболее удаленные от нейтральной оси. Составляем условие прочности для точки m в сечении В: или после подстановки числовых значений При этом напряжения в точке n, наиболее удалённой от нейтральной оси в сжатой зоне (в сечении В), будут, МПа. Эпюра M неоднозначна. Необходимо проверить прочность балки в сечении С. Здесь момент, Bно растягиваются нижние волокна. Опасной точкой будет точка n: При этом напряжения в точке m будут Из расчётов окончательно принимаем Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения С показана на рис. 1.21. Рис. 1.21 1.5. Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок Выше рассмотрены примеры расчета балок на прочность по нормальным и касательным напряжениям. В подавляющем большинстве случаев этого расчета достаточно. Однако в тонкостенных балках двутаврового, таврового, швеллерного и коробчатого сечений в месте соединения стенки с полкой возникают значительные касательные напряжения. Это имеет место в тех случаях, когда к балке приложена значительная поперечная сила и есть сечения, в которых M и Q одновременно велики. Одно из таких сечений будет опасным и проверяется 34 по главным напряжениям с применением одной из теорий прочности. Проверка прочности балок по нормальным, касательным и главным напряжениям носит название полной проверки прочности балок. Такой расчет рассматривается ниже. Основным является расчет балки по нормальным напряжениям. Условие прочности для балок, материал которых одинаково сопротивляется растяжению и сжатию имеет вид где Mmax─ максимальный изгибающий момент (по модулю), взятый из эпюры M , Wz ─ осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси балки; [ ]─ допускаемое нормальное напряжение для материала. Из условия прочности (1) определяют необходимые размеры поперечного сечения балки. Подобранные размеры сечения балки проверяются по касательным напряжениям. Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид (формула Д. И. Журавского): где Qmax ─ максимальная поперечная сила, взятая из эпюры Q ; Szотс.─ статический момент (относительно нейтральной оси) отсеченной части поперечного сечения, расположенной по одну сторону от уровня, на котором определяются касательные напряжения; I z ─ момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси; b─ ширина сечения балки на том уровне, где определяются касательные напряжения; ─ допускаемое касательное напряжение материала при изгибе. Проверка прочности по нормальным напряжениям относится к точке, наиболее удаленной от нейтральной оси в сечении, где действует Mmax. Проверка прочности по касательным напряжениям относится к точке, расположенной на нейтральной оси в сечении, где действует Qmax . В балках с тонкостенным сечением (двутавр и др.) опасной может оказаться точка, расположенная в стенке в сечении, где одновременно велики M и Q . В этом случае проверка прочности производится по главным напряжениям. Главные и экстремальные касательные напряжения определяются по аналитическим зависимостям, полученным из теории плоского напряженного состояния тел: Угол наклона главных площадок определяется по формуле (1.22) Имея величины главных напряжений, составляют условия прочности по той или иной теории прочности. Например По третьей теории наибольших касательных напряжений имеем После подстановки значений главных напряжений окончательно получаем (1.23) По четвертой энергетической теории прочности условие прочности имеет вид (1.24) Из формул (1.6) и (1.7) видно, что расчетное напряжение Экв зависит от. Следовательно, проверке подлежит элемент материала балки, для которого будут одновременно велики. Это осуществляется в таких случаях: 1) изгибающий момент и поперечная сила достигают наибольшего значения в одном и том же сечении; 2) ширина балки резко меняется вблизи краев сечения (двутавр и др.). Если указанные условия не имеют места, то необходимо рассмотреть несколько сечений, в которых могут возникнуть наиболее высокие значения экв. Пример 1.10 Сварная балка двутаврового поперечного сечения пролетом l=5 м, свободно опертая по концам, нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q и сосредоточенной силой P 5qa, приложенной на расстоянии а =1 м от правой опоры (рис. 1.22). Определить допускаемую нагрузку на балку из условия прочности по нормальным напряжениям и проверить по касательным и главным напряжениям по 36 4-й (энергетической) теории прочности. Построить эпюры в опасном сечении по главным напряжениям и исследовать напряженное состояние элемента, выделенного в стенке около полки в указанном сечении. Допускаемое напряжение на растяжение и сжатие: при изгибе160 МПа; и на сдвиг 100 МПа. Рис. 1.22 Решение 1. Определение реакций опор балки: 2. Построение эпюр M и Q по характерным сечениям (точкам): 3. Вычисление геометрических характеристик сечения балки. а) осевой момент инерции сечения относительно нейтральной оси z: 37 б) Осевой момент сопротивления относительно нейтральной оси z: 4. Определение допускаемой нагрузки на балку из условия прочности по нормальным напряжениям: Допускаемая нагрузка на балку 5. Проверка прочности балки по касательным напряжениям по формуле Д.И.Журавского Статический момент полусечения двутавра относительно нейтральной оси z: Ширина сечения на уровне точки 3: Максимальная поперечная сила Максимальные касательные напряжения в балке 6. Проверка прочности балки по главным напряжениям. Опасным по главным напряжениям является сечение D , в котором одновременно велики M и Q , а опасными точками в этом сечении являются точки 2 и 4, где одновременно велики  и  (рис. 1.23). Для точек 2 и 4 производим проверку прочности по главным напряжениям, используя 4-ю теорию прочности где (2) и (2)─ нормальные и касательные напряжения в точке 2(4) соответственно (рис. 1.2). Рис. 1.23 расстояние от нейтральной оси до точки 2. где Sz по(лки ─) статический момент полки относительно нейтральной оси z . см ─ ширина сечения по линии, проходящей через точку 3. Эквивалентные напряжения по 4-й теории прочности в точке 2 сечения D: Условие прочности по 4-й теории прочности удовлетворяется. 7. Построение эпюр нормальных, касательных, главных и экстремальных касательных напряжений в опасном сечении D (по главным напряжениям). а) вычисляем напряжения точках (1-5) сечения D по соответствующим формулам. Точка 2 (в стенке) Ранее были вычислены значения нормальных и касательных напряжений в точке 2. Находим главные и экстремальные касательные напряжения в этой же точке 2: Точка 3. Нормальные и касательные напряжения в точке 3: Главные и экстремальные касательные напряжения в точке 3: Аналогично находятся напряжения в точках 4 и 5. По получаемым данным строим эпюры, max . 8. Напряженное состояние элемента, выделенного в окрестности точки 2 в сечении D , представлено на рис. 1.24, угол наклона главных площадок 1.6. Понятие о центре изгиба Как было указано выше, касательные напряжения в поперечных сечениях тонкостенных стержней при изгибе (например, двутавра или швеллера) определяются по формуле На рис. 194 изображены эпюры касательных напряжений в двутавровом сечении. Используя методику, описанную в параграфе 63, можно построить эпюру 41 также для швеллера. Рассмотрим случай, когда швеллер заделан в стену, а на другом конце загружен силой Р, приложенной в центре тяжести сечения. Рис. 1.25 Общий вид эпюры τ в каком – либо сечении показан на рис. 1.25, а. В вертикальной стенке возникают касательные напряжения τу. В результате действия напряжений τу возникает суммарная сдвигающая сила Т2 (рис. 1.25, б). Если пренебречь касательными напряжениями τу в полках, то можно записать приближённое равенство В горизонтальных полках возникают касательные напряжения τх, которые направлены по горизонтали. Наибольшее касательное напряжение в полке τx max равно Здесь S1ОТС – статический момент площади полки относительно оси Ох: Следовательно, Суммарная сдвигающая сила в полке определится как площадь эпюры касательных напряжений, умноженная на толщину полки На нижнюю полку действует точно такая же сдвигающая сила, как и на верхнюю, но она направлена в обратную сторону. Две силы Т1 образуют пару с моментом (1.25) Таким образом, вследствие касательных напряжений τу и τх возникают три внутренние касательные силы, которые показаны на рис. 1.25, б. Из этого рисунка видно, что силы Т1 и Т2 стремятся повернуть сечение швеллера относительно центра тяжести в одну и ту же сторону. Рис. 1.25 Следовательно, в сечении швеллера возникает внутренний крутящий момент, направленный по ходу часовой стрелки. Итак, при изгибе швеллерной балки силой, приложенной в центре тяжести сечения, балка одновременно и закручивается. Три касательные силы можно привести к главному вектору и главному моменту. Величина главного момента зависит от положения точки, к которой приводятся силы. Оказывается, что можно выбрать такую точку А, относительно которой главный момент равен нулю. Эта точка называется центром изгиба. Приравнивания момент касательных сил нулю: получим Учтя выражение (1.25), окончательно найдем расстояние от оси вертикальной стенки до центра изгиба: Если внешнюю силу приложить не в центре тяжести сечения, а в центре изгиба, то она создаст относительно центра тяжести такой же момент, какой создают внутренние касательные силы, но только противоположного знака. При таком загружении (рис. 1.25, в) швеллер закручиваться не будет, а будет только изгибаться. Именно поэтому точка А названа центром изгиба. Подробное изложение расчета тонкостенных стержней дано в гл. XIII . 1.7. Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия деформации балок и условия их жесткости Под действием внешней нагрузки балка деформируется и ее ось искривляется. Кривая, в которую обращается ось балки после приложения нагрузки, называется упругой линией при условии, если напряжения балки не превосходят предела пропорциональности. В зависимости от направления нагрузки, расположения эпюр упругая линия может иметь выпуклость вверх (рис. 1.26, а), вниз (рис. 1.26, б) либо совокупность (рис. 1.26, в). При этом центры тяжести поперечных сечений перемещаются соответственно либо вверх, либо вниз, а сами сечения поворачиваются относительно нейтральной оси, оставаясь перпендикулярными изогнутой оси балки (рис. 1.26, а). Строго говоря, центры тяжести поперечных сечений перемещаются ещё и в направлении продольной оси балки. Однако в виду малости этих перемещений для балок ими пренебрегают, т. е. считают, что центр тяжести сечения перемещается перпендикулярно оси балки. Обозначим это перемещение через y , и в дальнейшем будем понимать под ним прогиб балки (см. рис. 1.26). Прогибом балки в данном сечении называется перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному оси балки. Рис. 1.26 Прогибы в различных сечениях балки зависят от положения сечений и являются величиной переменной. Так, для балки (рис. 1.26, а) в точке B прогиб будет иметь максимальное значение, а в точке D он равен нулю. Как уже отмечалось, наряду с перемещением центра тяжести сечения происходит поворот сечений относительно нейтральной оси сечения. Угол, на который сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения. Будем обозначать угол поворота через (рис. 1.26, а). Так как при изгибе балки поперечное сечение всегда остается перпендикулярно изогнутой её оси, то угол поворота можно представить как угол, заключенный между касательной к изогнутой оси в данной точке и первоначальной осью балки (рис. 1.26, а) или перпендикуляром к первоначальной и изогнутой осей балки в рассматриваемой точке. Угол поворота сечения для балок также является величиной переменной. Например, для балки (рис. 1.26, б) максимальное значение он имеет в шарнирных опорах, а минимальное значение 0 для сечения, в котором прогиб имеет максимальное значение. Для консольной балки (рис. 1.26, а) максимальный угол поворота будет на свободном её конце, т. е. в точке B . Для обеспечения нормальной работы балок оказывается недостаточно, чтобы они удовлетворяли условию прочности. Необходимо еще, чтобы балки обладали достаточной жесткостью, т. е. чтобы максимальные прогиб и угол поворота не превосходили допускаемых величин, определяемых эксплуатационными условиями балок. Это положение носит название условие жесткости балок при изгибе. В краткой математической форме записи условия жесткости имеют вид: где [y] и соответственно допускаемые прогиб и угол поворота. 45 Допускаемый прогиб обычно задается как часть расстояния между опорами балки (длиной пролёта l), т. е. где m─ коэффициент, зависящий от значения и условий работы системы, в которой используется данная балка. В каждой отрасли машиностроения эта величина определяется нормами проектирования и изменяется в широких пределах. Следующим образом: - для подкрановых балок m = 400 - 700; - для железнодорожных мостов m = 1000; - для шпинделей токарных станков m= 1000-2000. Допускаемые углы поворота для балок обычно не превосходят величин 0,001рад. В левую часть уравнений (1.26) входят максимальные прогиб ymax и угол поворота max , которые определяются расчетным путем на основании известных способов: аналитических, графических и графоаналитических, некоторые из которых рассматриваются ниже. 1.8. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Под действием внешних сил ось балки искривляется (см. рис. 1.26, а). Тогда уравнение изогнутой оси балки можно записать в виде а угол поворота  для любого сечения будет равен углу наклона касательной к изогнутой оси в данной точке. Тангенс этого угла численно равен производной от прогиба по абсциссе текущего сечения x , т. е. Так как прогибы балки малы по сравнению с её длиной l (см. выше), то можно принять, что угол поворота (1.27) При выводе формулы нормальных напряжений при изгибе было установлено, что между кривизной нейтрального слоя и изгибающим моментом существует следующая связь: Эта формула показывает, что кривизна изменяется по длине балки по тому же закону, по которому изменяется величина Mz . Если балка постоянного сечения испытывает чистый изгиб (рис. 5.27), при котором момент по длине не меняется, ее кривизна: Следовательно, для такой балки радиус кривизны – также величина постоянная и балка в этом случае будет изгибаться по дуге окружности. Однако в общем случае непосредственно применять закон изменения кривизны для определения прогибов не удается. Для аналитического решения задачи используем известное из математики выражение кривизны. (1.29) Подставляя (1.28) в (1.29), получим точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки: . (1.30) Уравнение (1.30) является нелинейным, и его интегрирование связано с большими трудностями. Учитывая, что прогибы и углы поворота для реальных балок, используемых в машиностроении, строительстве и т.д. малы, то величиной можно пренебречь. С учетом этого, а также того, что для правой системы координат изгибающий момент и кривизна имеют один и тот же знак (рис. 1.26), то для правой системы координат знак минус в уравнении (1.26) можно опустить. Тогда приближенное дифференциальное уравнение будет иметь вид 1.9. Метод непосредственного интегрирования Этот метод основан на интегрировании уравнения (1.31) и позволяет получить уравнение упругой оси балки в форме прогибов y f (x)и уравнение углов поворота Проинтегрировав уравнение (1.31) первый раз, получим уравнение углов поворота (1.32) где C ─ постоянная интегрирования. Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов где D ─ вторая постоянная интегрирования. Постоянные C и D определяются из краевых условий опирания балки и граничных условий её участков. Так для балки (рис. 1.26, а), в месте заделки (x l)прогиб и угол поворота сечения равны нулю, а для балки (см. рис. 1.26, б) прогиб y и прогиб yD 0, при x .l Для шарнирно опертой балки с консолями (рис. 1.28) при совмещении начала координат с концом левой опоры и выбором правой системы координат граничные условия имеют вид С учетом граничных условий определяются постоянные интегрирования. После подстановки постоянных интегрирования в уравнения углов поворота (1.32) и прогибов (1.33) вычисляются углы поворота и прогибы данного сечения. 1.10. Примеры определения перемещений в балках методом непосредственного интегрирования Пример 1.11 Определить максимальный прогиб и угол поворота для консольной балки (рис. 1.26, а). Решение Начало координат совмещаем с левым концом балки. Изгибающий момент в произвольном сечении на расстоянии х от левого конца балки вычисляется по формуле С учетом момента приближенное дифференциальное уравнение имеет вид Интегрируя первый раз, имеем (1.34) Интегрируя второй раз Граничные условия С учетом второго условия, откуда Аналогично из первого условия будем иметь С учетом найденных постоянных интегрирования C и D уравнение углов поворота и прогибов будут иметь вид: При (см. рис. 1.26, а) угол поворота и прогиб имеют максимальные значения: Положительное значение угла  указывает, что сечение при изгибе балки поворачивается в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Отрицательное значение y говорит о том, что центр тяжести сечения перемещается вниз. 1.11. Физический смысл постоянных интегрирования Если обратиться к уравнениям (1.32), (1.33) и (1.34), (1.35), рассмотренных выше примеров, то нетрудно заметить, что при x 0 из них следует Таким образом, можно сделать вывод, что постоянные интегрирования C и D представляют собой произведение жесткости балки соответственно на угол: поворота 0 и прогиб y0 в начале координат. Зависимости (1.36) и (1.37) оказываются справедливыми всегда для балок, имеющих один участок нагружения, если вычислять изгибающий момент от сил, расположенных между сечением и началом координат. Это же остается в силе и для балок с любым числом участков нагружения, если применять специальные приемы интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси балки, о которых будет сказано ниже. 1.12. Метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки) При определении прогибов и углов поворота методом непосредственного интегрирования требуется нахождение двух постоянных интегрирования C и D даже в тех случаях, когда балка имеет один участок нагружения. На практике применяются балки, имеющие несколько участков нагружения. В этих случаях на разных участках нагружения закон изгибающего момента будет различен. Тогда дифференциальное уравнение изогнутой оси необходимо будет составлять для каждого из участков балки и для каждого из них отыскивать свои постоянные интегрирования C и D . Очевидно, что если балка имеет n участков нагружения, то число постоянных интегрирования будет равно удвоенному числу участков. Для их 50 определения необходимо будет решить 2 уравнения. Эта задача трудоемкая. Для решения задач, имеющих не один участок нагружения, широкое распространение получил метод начальных параметров, представляющий собой развитие метода непосредственного интегрирования. Оказывается, что, соблюдая некоторые условия, приемы составления и интегрирования уравнений по участкам, можно уменьшить число постоянных интегрирования, независимо от числа участков нагружения, до двух, представляющих собой прогиб и угол поворота в начале координат. Рассмотрим сущность этого метода на примере консольной балки (рис. 1.28), нагруженной произвольной нагрузкой, но создающей положительный момент в любом сечении балки. Пусть дана балка постоянного сечения, при этом сечение имеет ось симметрии, совпадающую с осью y , и вся нагрузка расположена в одной плоскости, проходящей через эту ось. Поставим задачу установить зависимости, определяющие угол поворота и прогиб произвольного сечения балки. Рис. 1.29 При решении задач условимся: 1. Начало координат будем связывать с левым концом балки, и оно является общим для всех участков. 2. Изгибающий момент в произвольном сечении будем всегда вычислять для участка балки, расположенного слева от сечения, т. е. между началом координат и сечением. 3. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси на всех участках будем производить, не раскрывая скобок некоторых выражений, 51 содержащих скобки. Так, например, интегрирование выражения вида P x(b) производится без раскрытия скобок, а именно по следующей формуле Интегрирование по этой формуле отличается от интегрирования с предварительным открытием скобок только величиной произвольной постоянной. 4. При составлении выражения для изгибающего момента в произвольном сечении, вызванного внешним сосредоточенным моментом М, будем добавлять множитель (x)a0 1. Придерживаясь этих правил, составим и проинтегрируем приближенное дифференциальное уравнение для каждого из пяти участков балки, обозначенных на рис. 1.28 римскими цифрами. Приближенное дифференциальное уравнение для указанных участков имеет один и тот же вид: (1.38) но для каждого участка изгибающий момент имеет свой закон изменения. Изгибающие моменты для участков имеют вид: Подставив выражения изгибающего момента в уравнение (1.38), для каждого из участков после интегрирования получим по два уравнения: уравнение углов поворота и уравнение прогибов, в которые войдут свои две постоянные интегрирования Ci и Di . В виду того, что балка имеет пять участков, то таких постоянных интегрирования будет десять. Однако, принимая во внимание, что изогнутая ось балки является непрерывной и упругой линией, то на границах соседних участков прогиб и угол поворота имеют одни и те же значения, т. е. при т. д. В силу этого из сравнения уравнений углов поворота и прогибов соседних участков получим, что постоянные интегрирования Таким образом, вместо десяти постоянных интегрирования для решения поставленной задачи необходимо определить только две постоянных интегрирования C и D . Из рассмотрения интегральных уравнений первого участка следует, что при x 0: т.е. они представляют собой те же зависимости (1.36) и (1.37). Начальные параметры 0 и y0 о определяются из граничных условий, о которых было сказано в предыдущем разделе. Анализируя полученные выражения для углов поворота и прогибов y , видим, что наиболее общий вид уравнений соответствует пятому участку. С учетом постоянных интегрирования эти уравнения имеют вид: Первое из этих уравнений представляет уравнение углов поворота, а второе - прогибов. Так как на балку может действовать не одна сосредоточенная сила, момент или балка может иметь не один участок с распределенной нагрузкой, то для общего случая уравнения (1.38),(1.39) запишутся в виде: Уравнения (1.41), (1.42) называются универсальными уравнениями изогнутой оси балки. Первое из этих уравнений является уравнением углов поворота, а второе – уравнением прогибов. С помощью этих уравнений можно определить прогибы и углы поворота сечений для любых статически определимых балок, у которых жесткость по их длине постоянна EI  const . В уравнениях (1.41), (1.42): M , P , q , qx ─ внешняя нагрузка, расположенная между началом координат и сечением, в котором определяются перемещения (угол поворота и прогиб); a , b, c , d ─ расстояния от начала координат до точек приложения соответственно момента М, сосредоточенной силы P , начало равномерно распределяемой нагрузки и начало неравномерно распределенной нагрузки. Необходимо обратить внимание: 53 1. При противоположном направлении внешней нагрузки, что принято при выводе универсальных уравнений, перед соответствующим членом уравнений знак меняется на противоположный, т. е. на минус. 2. Последние два члена уравнений (1.41), (1.42) справедливы только в том случае, если распределенная нагрузка не обрывается ранее того сечения, в котором определяются прогиб и угол поворота. Если нагрузка не доходит до этого сечения, то ее необходимо продолжить до данного сечения и одновременно добавить на продленном участке такую же распределенную нагрузку, но противоположную по знаку, эта мысль пояснена на рис. 1.30. Пунктиром показана добавленная распределенная нагрузка на продленном участке. Рис. 1.30 При определении углов поворота  и прогибов y начало координат следует помещать в левом конце балки, направляя ось y вверх, а ось x ─ вправо. В составляемое уравнение углов поворота и прогибов включаются только те силы, которые расположены левее сечения, т.е. на участке балки между началом координат и сечением, в котором определяются прогиб и угол поворота (включая и силы, действующие в сечении совпадающим с началом координат). 1.13. Примеры определения перемещений в балке по методу начальных параметров Пример 1.12 Для балки (рис. 1.31), защемленной левым концом и нагруженной сосредоточенной силой P , определить угол поворота и прогиб в точке приложения силы, а также свободного конца (сечение D). Жесткость балки Рис. 1.31 Решение уравнения равновесия статики: 1) Обратим внимание, что реактивный момент направлен против часовой стрелки, поэтому в уравнение изогнутой оси он войдёт со знаком минус. 2. Совмещаем начало координат с точкой B и устанавливаем начальные параметры. В защемлении ()B прогиб и угол поворота отсутствуют, т.е. 0 0. Записываем уравнение углов поворота и прогибов для произвольного сечения второго участка, т.е. расположенное на расстоянии x от начало координат С учетом реактивных сил, а также равенства нулю начальных параметров эти уравнения имеют вид При x lимеем угол поворота и прогиб сечения C соответственно 55 Для сеченияD , x1l 12(1)2 Пример 1.13 Определить максимальный прогиб и угол поворота на правой опоре балки, нагруженной посередине пролёта сосредоточенной силой (рис. 1.32). Решение 1. Определяем опорные реакции Из уравнений статики имеем B 2. Помещаем начало координат на левом конце балки (точка B). Рис. 1.32 3. Устанавливаем начальные параметры. Прогиб в начале координат By0, так как опора не позволяет вертикальное перемещение. Необходимо заметить, что если опора была бы подпружинена, то прогиб в начале координат был бы равен осадке деформации пружины. Угол поворота в начале координат не равен нулю, т. е. 4. Определяем угол поворота в начале координат 0 . Для этого используем условие, что при x lпрогиб равен нулю yD 0: 3 Так как балка относительно нагрузки P симметрична, то угол поворота на правой опоре равен углу поворота на левой опоре. 2 BD 16z Pl EI . Максимальный прогиб будет посередине балки при x . Следовательно, Пример 1.14 Определить прогиб посередине пролёта и на правом конце балки (рис. 1.33), если балка изготовлена из двутавра № 10 (момент инерции Iz 198 ссмм4), нагруженной распределенной нагрузкой q 2,Н/м, сосредоточенными моментом M силой. P ккНН Рис. 1.33 Решение 1 . Определяем опорные реакции Откуда Проверка правильности определения реакций 2. Совмещаем начало координат с точкой B и устанавливаем начальные параметры. Из рис. 1.33 следует, что в начале координат прогиб y0 0 и угол поворота. 57 3. Определяем начальные параметры y0 и 0 . Для этого используем граничные условия, что при: Для реализации граничных условий составляем уравнение изогнутой оси. для двух участков: участок BC 0 мм1: При записи этого уравнения учтено, что распределенная нагрузка оборвалась в точке C , поэтому согласно сказанному выше, ее продолжили и на продолженном участке ввели компенсирующую нагрузку такой же величины, но обратного направления. С учетом граничных условий (пункт 3) и нагрузки уравнения (1.43) и (1.44) имеют вид: Из совместного решения этих уравнений имеем 4. Определяем прогиб в сечениях К и E . Для сечения K при x 2 мм имеем 1.14. Определение перемещений по методу Мора Правило А.К. Верещагина Метод Мора является общим методом определения перемещений в стержневых линейно-деформируемых системах. Определение перемещений (линейных, угловых) в расчетных сечениях производится по формуле (интегралу) Мора, которую нетрудно получить, базируясь на теоремы о взаимности работ (теорема Бетти) и теорему о взаимности перемещений (теорема Максвелла). Пусть, например, задана плоская упругая система в виде балки (рис. 1.34), загруженная плоской уравновешенной произвольной нагрузкой. Заданное сос- тояние системы будем называть грузовым и обозначим буквой P . Под действием внешней нагрузки произойдет деформация, и в точке K возникнут перемещения, в частности, в направлении, перпендикулярном оси – прогиб кр. Введем новое (вспомогательное) состояние этой же системы, но нагруженной в точке K по направлению искомого перемещения (кр)единичной безразмерной силой (рис.1.34). Такое состояние системы обозначим буквой i , и будем называть единичным состоянием. 59 Рис. 1.34 На основании теоремы Бетти возможная работа сил грузового состояния pi A и силы единичного состояния pi A равны (1.45) Возможная работа сил грузового состояния, выраженная через внутренние силы, определяется по формуле а силы единичного состояния - по формуле (1.47) С учетом (1.46), (1.47) из (1.45) имеем (1.48) где M p , Qp, Np ─ соответственно изгибающий момент, поперечная и продольная силы, возникающие в системе от внешней нагрузки; Mi, Qi , Ni ─ соответственно изгибающий момент, поперечная и продольная силы, возникающие в системе от единичной нагрузки, приложенной по направлению определяемого перемещения; k ─ коэффициент, учитывающий неравномерность касательных напряжений по сечению; I ─ осевой момент инерции относительно главной центральной оси; A─ площадь поперечного сечения стержня на участке; 60 E , G ─ модули упругости материала. Неравномерность распределения касательных напряжений в сечении зависит от формы сечения . Для прямоугольного и треугольного сечений k 1,2, круглого сечения k 1,11, круглого кольцевого сечения k 2. Формула (1.48) позволяет определить перемещение в любой точке плоской упругой системы. При определении в сечении (K) прогиба прикладываем в этой точке единичную силу (безразмерную). В случае определения угла поворота сечения в точке K необходимо приложить единичный безразмерный момен

При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент М х (рис. 1). Так как Q y =dM x /dz=0, то M x =const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент M х по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .

Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения

Рис.2. Модель чистого изгиба

Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя (—радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (M х =сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а ), нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.

Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

а ) расчетная схема, б ) деформации и напряжения

Рис.3. Фрагмент чистого изгиба бруса

Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz , который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б . Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

Из подобия треугольников С00 1 и 0 1 ВВ 1 следует, что

Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох , от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

Подставляя в это уравнение выражение (2)

и учитывая, что , получаем, что

Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:

и учитывая, что где J x —главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу

Рис.4. Распределение нормальных напряжений

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента М х и нормальных напряжений в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при M х >0 нормальные напряжения при y >0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

Здесь введена геометрическая характеристика , имеющая размерность м 3 и получившая название момента сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном M х напряжения max ? тем меньше, чем больше W x , момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе. Приведем примеры вычисления моментов сопротивления для простейших форм поперечных сечений. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 5, а ) имеем J х =bh 3 /12,y max = h/2 и W x = J x /y max = bh 2 /6. Аналогично для круга (рис. 5,a J x =d 4 /64, y max =d/2 ) получаем W x =d 3 /32, для кругового кольцевого сечения (рис. 5, в), у которого

Изгибающий момент и поперечная сила

Основные понятия об изгибе. Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент.
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил.
На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали конструкций. Если брус имеет хоть одну ось симметрии, и плоскость действия нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб , если же это условие не выполняется, то имеет место косой изгиб .

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.
Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1):
- поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
- сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
- продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:
- при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
- волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Полагая справедливой гипотезу о не надавливании волокон, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью . Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.
Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

1.К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.
Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2), видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М и , равный внешнему моменту. Таким образом, это случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.
Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей), перпендикулярные оси (рис 3). Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий моментМ и и поперечная сила Q .
Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.
Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.
Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным.

У балки, находящейся в равновесии вод действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна алгебраической сумме сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис 4a).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4b). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Еще раз отметим, что для определения реакций связей пользуются правилами знаков статики, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.
Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют "правилом дождя" , имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак положительный), и наоборот – если под действием нагрузок балка выгибается дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

Эпюры внутренних усилий при прямом изгибе.

Прямым изгибом называется такой вид простого сопротивления, когда внешние силы приложены перпендикулярно продольной оси бруса (балки) и расположены в одной из главных плоскостей в соответствие с конфигурацией поперечного сечения балки.

Как известно, при прямом изгибе в поперечном сечении возникают два вида внутренних усилий: поперечная сила и внутренний изгибающий момент.

Рассмотрим пример расчетной схемы консольной балки с сосредоточенной силой Р , рис. 1 а., …

а) расчетная схема, б) левая часть, в) правая часть, г) эпюра поперечных сил, д) эпюра изгибающих моментов

Рис.1. Построение эпюр поперечных сил и внутренних изгибающих моментов при прямом изгибе:

Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равнопрочности растянутой и сжатой зон балки.Иными словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (max ) н наибольшие напряжения сжатия (max ) одновременно достигали допускаемых напряжений и .

Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: ), условие равнопрочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение (рис. 6, а ), при котором обеспечено условие равенства . Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра (рис. 6): 2 горизонтальных массивных листа, соединенные стенкой (вертикальным листом), толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутаврому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 6, в ).

Рис.6. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 27):

которое вытекает из требования

Рис.7. Распределение напряжений несимметричного профиля сечения балки.

Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис. 7: а- двутавр, б- швеллер, в - неравнобокий уголок, г -равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др.

Рис.8. Используемые профили сечений: а) двутавр, б) швеллер, в) неравнобокий уголок, г) равнобокий уголок

Формула осевого момента сопротивления при изгибе выводится просто. Когда поперечное сечение балки симметрично относительно нейтральной оси, нормальные напряжения в наиболее удаленных точках (при ) определяются по формуле:

Геометрическую характеристику поперечного сечения балки, равную называют осевым моментом сопротивления при изгибе . Осевой момент сопротивления при изгибе измеряется в единицах длины в кубе (как правило, в см3). Тогда .

Для прямоугольного поперечного сечения: ;

формула осевого момент сопротивления при изгибе для круглого поперечного сечения: .