Часть механики, в которой изучают движение, не рассматривая причины, вызывающие тот или иной характер движения, называют кинематикой .
Механическим движением называют изменение положения тела относительно других тел
Системой отсчёта называют тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы.
Телом отсчёта называют тело, относительно которого рассматривают положение других тел.
Материальной точкой называют тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Траекторией называют мысленную линию, которую при своём движении описывает материальная точка.

По форме траектории движение делится на:
а) прямолинейное - траектория представляет собой отрезок прямой;
б) криволинейное - траектория представляет собой отрезок кривой.

Путь - это длина траектории, которую описывает материальная точка за данный промежуток времени. Это скалярная величина.
Перемещение - это вектор, соединяющий начальное положение материальной точки с её конечным положением (см. рис.).

Очень важно понимать, чем путь отличается от перемещения. Самое главной отличие в том, что перемещение - это вектор с началом в точке отправления и с концом в точке назначения (при этом абсолютно неважно, каким маршрутом это перемещение совершалось). А путь - это, наборот, скалярная величина, отражающая длину пройденной траектории.

Равномерным прямолинейным движением называют движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения
Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло:

Для неравномерного движения пользуются понятием средней скорости. Часто вводят среднюю скорость как скалярную величину. Это скорость такого равномерного движения, при котором тело проходит тот же путь за то же время, что и при неравномерном движении:

Мгновенной скоростью называют скорость тела в данной точке траектории или в данный момент времени.
Равноускоренное прямолинейное движение - это прямолинейное движение, при котором мгновенная скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину

Ускорением называют отношение изменения мгновенной скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло:

Зависимость координаты тела от времени в равномерном прямолинейном движении имеет вид: x = x 0 + V x t , где x 0 - начальная координата тела, V x - скорость движения.
Свободным падением называют равноускоренное движение с постоянным ускорением g = 9,8 м/с 2 , не зависящим от массы падающего тела. Оно происходит только под действием силы тяжести.

Скорость при свободном падении рассчитывается по формуле:

Перемещение по вертикали рассчитывается по формуле:

Одним из видов движения материальной точки является движение по окружности. При таком движении скорость тела направлена по касательной, проведённой к окружности в той точке, где находится тело (линейная скорость). Описывать положение тела на окружности можно с помощью радиуса, проведённого из центра окружности к телу. Перемещение тела при движении по окружности описывается поворотом радиуса окружности, соединяющего центр окружности с телом. Отношение угла поворота радиуса к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошёл, характеризует быстроту перемещения тела по окружности и носит название угловой скорости ω :

Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением

где r - радиус окружности.
Время, за которое тело описывает полный оборот, называется периодом обращения. Величина, обратная периоду - частота обращения - ν

Поскольку при равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется, но меняется направление скорости, при таком движении существует ускорение. Его называют центростремительным ускорением , оно направлено по радиусу к центру окружности:

Основные понятия и законы динамики

Часть механики, изучающая причины, вызвавшие ускорение тел, называется динамикой

Первый закон Ньютона:
Cуществуют такие системы отсчёта, относительно которых тело сохраняет свою скорость постоянной или покоится, если на него не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.
Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при уравновешенных внешних силах, действующих на него, называется инертностью. Явление сохранения скорости тела при уравновешенных внешних силах называют инерцией. Инерциальными системами отсчёта называют системы, в которых выполняется первый закон Ньютона.

Принцип относительности Галилея:
во всех инерциальных системах отсчёта при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково, т.е. подчиняются одинаковым законам
Масса - это мера инертности тела
Сила - это количественная мера взаимодействия тел.

Второй закон Ньютона:
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:
$F↖{→} = m⋅a↖{→}$

Сложение сил заключается в нахождении равнодействующей нескольких сил, которая производит такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил.

Третий закон Ньютона:
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, расположены на одной прямой, равны по модулю и противоположны по направлению:
$F_1↖{→} = -F_2↖{→} $

III закон Ньютона подчёркивает, что действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Если тело A действует на тело B, то и тело B действует на тело A (см. рис.).

Или короче, сила действия равна силе противодействия. Часто возникает вопрос: почему лошадь тянет сани, если эти тела взаимодействуют с равными силами? Это возможно только за счёт взаимодействия с третьим телом - Землёй. Сила, с которой копыта упираются в землю, должна быть больше, чем сила трения саней о землю. Иначе копыта будут проскальзывать, и лошадь не сдвинется с места.
Если тело подвергнуть деформации, то возникают силы, препятствующие этой деформации. Такие силы называют силами упругости .

Закон Гука записывают в виде

где k - жёсткость пружины, x - деформация тела. Знак «−» указывает, что сила и деформация направлены в разные стороны.

При движении тел друг относительно друга возникают силы, препятствующие движению. Эти силы называются силами трения. Различают трение покоя и трение скольжения. Сила трения скольжения подсчитывается по формуле

где N - сила реакции опоры, µ - коэффициент трения.
Эта сила не зависит от площади трущихся тел. Коэффициент трения зависит от материала, из которого сделаны тела, и качества обработки их поверхности.

Трение покоя возникает, если тела не перемещаются друг относительно друга. Сила трения покоя может меняться от нуля до некоторого максимального значения

Гравитационными силами называют силы, с которыми любые два тела притягиваются друг к другу.

Закон всемирного тяготения:
любые два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Здесь R - расстояние между телами. Закон всемирного тяготения в таком виде справедлив либо для материальных точек, либо для тел шарообразной формы.

Весом тела называют силу, с которой тело давит на горизонтальную опору или растягивает подвес.

Сила тяжести - это сила, с которой все тела притягиваются к Земле:

При неподвижной опоре вес тела равен по модулю силе тяжести:

Если тело движется по вертикали с ускорением, то его вес будет изменяться.
При движении тела с ускорением, направленным вверх, его вес

Видно, что вес тела больше веса покоящегося тела.

При движении тела с ускорением, направленным вниз, его вес

В этом случае вес тела меньше веса покоящегося тела.

Невесомостью называется такое движение тела, при котором его ускорение равно ускорению свободного падения, т.е. a = g. Это возможно в том случае, если на тело действует только одна сила - сила тяжести.
Искусственный спутник Земли - это тело, имеющее скорость V1, достаточную для того, чтобы двигаться по окружности вокруг Земли
На спутник Земли действует только одна сила - сила тяжести, направленная к центру Земли
Первая космическая скорость - это скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно обращалось вокруг планеты по круговой орбите.

где R - расстояние от центра планеты до спутника.
Для Земли, вблизи её поверхности, первая космическая скорость равна

1.3. Основные понятия и законы статики и гидростатики

Тело (материальная точка) находится в состоянии равновесия, если векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Различают 3 вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Если при выведении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть это тело обратно, это устойчивое равновесие. Если возникают силы, стремящиеся увести тело ещё дальше из положения равновесия, это неустойчивое положение ; если никаких сил не возникает - безразличное (см. рис. 3).


Когда речь идёт не о материальной точке, а о теле, которое может иметь ось вращения, то для достижения положения равновесия помимо равенства нулю суммы сил, действующих на тело, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, была равна нулю.

Здесь d -плечо силы. Плечом силы d называют расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Условие равновесия рычага:
алгебраическая сумма моментов всех вращающих тело сил равна нулю.
Давлением называют физическую величину, равную отношению силы, действующей на площадку, перпендикулярную этой силе, к площади площадки:

Для жидкостей и газов справедлив закон Паскаля:
давление распространяется по всем направлениям без изменений.
Если жидкость или газ находятся в поле силы тяжести, то каждый вышерасположенный слой давит на нижерасположенные и по мере погружения внутрь жидкости или газа давление растёт. Для жидкостей

где ρ - плотность жидкости, h - глубина проникновения в жидкость.

Однородная жидкость в сообщающихся сосудах устанавливается на одном уровне. Если в колена сообщающихся сосудов залить жидкость с разными плотностями, то жидкость с большей плотностью устанавливается на меньшей высоте. В этом случае

Высоты столбов жидкости обратно пропорциональны плотностям:

Гидравлический пресс представляет собой сосуд, заполненный маслом или иной жидкостью, в котором прорезаны два отверстия, закрытые поршнями. Поршни имеют разную площадь. Если к одному поршню приложить некоторую силу, то сила, приложенная ко второму поршню, оказывается другой.
Таким образом, гидравлический пресс служит для преобразования величины силы. Поскольку давление под поршнями должно быть одинаковым, то

Тогда A1 = A2.
На тело, погружённое в жидкость или газ, со стороны этой жидкости или газа действует направленная вверх выталкивающая сила, которую называют силой Архимеда
Величину выталкивающей силы устанавливает закон Архимеда : на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх и равная весу жидкости или газа, вытесненного телом:

где ρ жидк - плотность жидкости, в которую погружено тело; V погр - объём погружённой части тела.

Условие плавания тела - тело плавает в жидкости или газе, когда выталкивающая сила,действующая на тело, равна силе тяжести, действующей на тело.

1.4. Законы сохранения

Импульсом тела называют физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость:

Импульс - векторная величина. [p] =кг·м/с. Наряду с импульсом тела часто пользуются импульсом силы. Это произведение силы на время её действия
Изменение импульса тела равно импульсу действующей на это тело силы. Для изолированной системы тел (система, тела которой взаимодействуют только друг с другом) выполняется закон сохранения импульса : сумма импульсов тел изолированной системы до взаимодействия равна сумме импульсов этих же тел после взаимодействия.
Механической работой называют физическую величину, которая равна произведению силы, действующей на тело, на перемещение тела и на косинус угла между направлением силы и перемещения:

Мощность - это работа, совершённая в единицу времени:

Способность тела совершать работу характеризуют величиной, которую называют энергией. Механическую энергию делят на кинетическую и потенциальную. Если тело может совершать работу за счёт своего движения, говорят, что оно обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия поступательного движения материальной точки подсчитывается по формуле

Если тело может совершать работу за счёт изменения своего положения относительно других тел или за счёт изменения положения частей тела, оно обладает потенциальной энергией. Пример потенциальной энергии: тело, поднятое над землёй, его энергия подсчитывается по формуле

где h - высота подъёма

Энергия сжатой пружины:

где k - коэффициент жёсткости пружины, x - абсолютная деформация пружины.

Сумма потенциальной и кинетической энергии составляет механическую энергию. Для изолированной системы тел в механике справедлив закон сохранения механической энергии : если между телами изолированной системы не действуют силы трения (или другие силы, приводящие к рассеянию энергии), то сумма механических энергий тел этой системы не изменяется (закон сохранения энергии в механике). Если же силы трения между телами изолированной системы есть, то при взаимодействии часть механической энергии тел переходит во внутреннюю энергию.

1.5. Механические колебания и волны

Колебаниями называются движения, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся физическая величина x изменяется по закону синуса или косинуса, т.е.

Величина A, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины x, называется амплитудой колебаний . Выражение α = ωt + ϕ определяет значение x в данный момент времени и называется фазой колебаний. Периодом T называется время, за которое колеблющееся тело совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называют число полных колебаний, совершённых за единицу времени:

Частота измеряется в с -1 . Эта единица называется герц (Гц).

Математическим маятником называется материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости.
Если один конец пружины закрепить неподвижно, а к другому её концу прикрепить некоторое тело массой m, то при выведении тела из положения равновесия пружина растянется и возникнут колебания тела на пружине в горизонтальной или вертикальной плоскости. Такой маятник называется пружинным.

Период колебаний математического маятника определяется по формуле

где l - длина маятника.

Период колебаний груза на пружине определяется по формуле

где k - жёсткость пружины, m - масса груза.

Распространение колебаний в упругих средах.
Среда называется упругой, если между её частицами существуют силы взаимодействия. Волнами называется процесс распространения колебаний в упругих средах.
Волна называется поперечной , если частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Волна называется продольной , если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны.
Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе:

где v - скорость распространения волны.

Звуковыми волнами называют волны, колебания в которых происходят с частотами от 20 до 20 000 Гц.
Скорость звука различна в различных средах. Скорость звука в воздухе равна 340 м/c.
Ультразвуковыми волнами называют волны, частота колебаний в которых превышает 20 000 Гц. Ультразвуковые волны не воспринимаются человеческим ухом.

При прямолинейном равноускоренном движении тело

1. двигается вдоль условной прямой линии,
2. его скорость постепенно увеличивается или уменьшается,
3. за равные промежутки времени скорость меняется на равную величину.

Например, автомобиль из состояния покоя начинает двигаться по прямой дороге, и до скорости, скажем, в 72 км/ч он двигается равноускоренно. Когда заданная скорость достигнута, то авто движется без изменения скорости, т. е. равномерно. При равноускоренном движении его скорость возрастала от 0 до 72 км/ч. И пусть за каждую секунду движения скорость увеличивалась на 3,6 км/ч. Тогда время равноускоренного движения авто будет равно 20 секундам. Поскольку ускорение в СИ измеряется в метрах на секунду в квадрате, то надо ускорение 3,6 км/ч за секунду перевести в соответствующие единицы измерения. Оно будет равно (3,6 * 1000 м) / (3600 с * 1 с) = 1 м/с 2 .

Допустим, через какое-то время езды с постоянной скоростью автомобиль начал тормозить, чтобы остановиться. Движение при торможении тоже было равноускоренным (за равные промежутки времени скорость уменьшалась на одинаковую величину). В данном случае вектор ускорения будет противоположен вектору скорости. Можно сказать, что ускорение отрицательно.

Итак, если начальная скорость тела нулевая, то его скорость через время в t секунд будет равно произведению ускорения на это время:

При падении тела «работает» ускорение свободного падения, и скорость тела у самой поверхности земли будет определяться по формуле:

Если известна текущая скорость тела и время, которое понадобилось, чтобы развить такую скорость из состояния покоя, то можно определить ускорение (т. е. как быстро менялась скорость), разделив скорость на время:

Однако тело могло начать равноускоренное движение не из состояния покоя, а уже обладая какой-то скоростью (или ему придали начальную скорость). Допустим, вы бросаете камень с башни вертикально вниз с приложением силы. На такое тело действует ускорение свободного падения, равное 9,8 м/с 2 . Однако ваша сила придала камню еще скорости. Таким образом, конечная скорость (в момент касания земли) будет складываться из скорости, развившийся в результате ускорения и начальной скорости. Таким образом, конечная скорость будет находиться по формуле:

Однако, если камень бросали вверх. То начальная его скорость направлена вверх, а ускорение свободного падения вниз. То есть вектора скоростей направлены в противоположные стороны. В этом случае (а также при торможении) произведение ускорения на время надо вычитать из начальной скорости:

Получим из этих формул формулы ускорения. В случае ускорения:

at = v – v 0
a = (v – v 0)/t

В случае торможения:

at = v 0 – v
a = (v 0 – v)/t

В случае, когда тело равноускоренно останавливается, то в момент остановки его скорость равна 0. Тогда формула сокращается до такого вида:

Зная начальную скорость тела и ускорение торможения, определяется время, через которое тело остановится:

Теперь выведем формулы для пути, которое тело проходит при прямолинейном равноускоренном движении . Графиком зависимость скорости от времени при прямолинейном равномерном движении является отрезок, параллельный оси времени (обычно берется ось x). Путь при этом вычисляется как площадь прямоугольника под отрезком. То есть умножением скорости на время (s = vt). При прямолинейном равноускоренном движении графиком является прямая, но не параллельная оси времени. Эта прямая либо возрастает в случае ускорения, либо убывает в случае торможения. Однако путь также определяется как площадь фигуры под графиком.

При прямолинейном равноускоренном движении эта фигура представляет собой трапецию. Ее основаниями являются отрезок на оси y (скорость) и отрезок, соединяющий точку конца графика с ее проекцией на ось x. Боковыми сторонами являются сам график зависимости скорости от времени и его проекция на ось x (ось времени). Проекция на ось x - это не только боковая сторона, но еще и высота трапеции, т. к. перпендикулярна его основаниям.

Как известно, площадь трапеции равна полусумме оснований на высоту. Длина первого основания равна начальной скорости (v 0), длина второго основания равна конечной скорости (v), высота равна времени. Таким образом получаем:

s = ½ * (v 0 + v) * t

Выше была дана формула зависимости конечной скорости от начальной и ускорения (v = v 0 + at). Поэтому в формуле пути мы можем заменить v:

s = ½ * (v 0 + v 0 + at) * t = ½ * (2v 0 + at) * t = ½ * t * 2v 0 + ½ * t * at = v 0 t + 1/2at 2

Итак, пройденный путь определяется по формуле:

s = v 0 t + at 2 /2

(К данной формуле можно прийти, рассматривая не площадь трапеции, а суммируя площади прямоугольника и прямоугольного треугольника, на которые разбивается трапеция.)

Если тело начало двигаться равноускоренно из состояния покоя (v 0 = 0), то формула пути упрощается до s = at 2 /2.

Если вектор ускорения был противоположен скорости, то произведение at 2 /2 надо вычитать. Понятно, что при этом разность v 0 t и at 2 /2 не должна стать отрицательной. Когда она станет равной нулю, тело остановится. Будет найден путь торможения. Выше была приведена формула времени до полной остановки (t = v 0 /a). Если подставить в формулу пути значение t, то путь торможения приводится к такой формуле.

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:

.

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

.

Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

.

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Ускорение точки при прямолинейном движении

Механическое движение. Основные понятия механики.

Механическое движение – изменение положения тел (или их частей) в пространстве с течением времениотносительно других тел.

Из этого определения следует, что механическое движение – движение относительное.

Тело, по отношению к которому рассматривается данное механическое движение, называется телом отсчёта.

Система отсчёта - это совокупность тела отсчёта, системы координат и системы отсчёта времени, связанных с этим телом, по отношению к которому изучается движение (или равновесие) каких-либо других материальных точек или тел (рис.1).

Рис. 1.

Выбор системы отсчёта зависит от целей исследования. При кинематических исследованиях все системы отсчёта равноправны. В задачах динамики преимущественную роль играют инерциальные системы отсчёта .

Инерциальная система отсчёта (и.с.о. )– система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Всякая система отсчёта, движущаяся по отношению к и. с. о . поступательно, равномерно и прямолинейно, есть также и. с. о. Следовательно, теоретически может существовать сколько угодно равноправных и. с. о ., обладающих тем важным свойством, что во всех таких системах законы физики одинаковы (так называемый, принцип относительности).

Если система отсчёта движется по отношению к и.с.о. неравномерно и прямолинейно, то она является неинерциальной и закон инерции в ней не выполняется. Объясняется это тем, что по отношению к неинерциальной системе отсчёта материальная точка будет иметь ускорение даже при отсутствии действующих сил, вследствие ускоренного поступательного или вращательного движения самой системы отсчёта.

Понятие об и. с. о. является научной абстракцией. Реальная система отсчёта связывается всегда с каким-нибудь конкретным телом (Землёй, корпусом корабля или самолёта и т. п.), по отношению к которому и изучается движение тех или иных объектов. Поскольку в природе нет неподвижных тел (тело, неподвижное относительно Земли, будет двигаться вместе с нею ускоренно по отношению к Солнцу и звёздам и т. д.), то любая реальная система отсчёта является неинерциальной и может рассматриваться как и. с. о . лишь с той или иной степенью приближения.

С очень высокой степенью точности и. с. о. можно считать так называемую гелиоцентрическую (звёздную) систему с началом в центре Солнца (точнее, в центре масс Солнечной системы) и с осями, направленными на три звезды. Для решения большинства технических задач и. с. о. практически может служить система, жестко связанная с Землёй, а в случаях, требующих большей точности (например, в гироскопии), – с началом в центре Земли и осями, направленными на звёзды.

При переходе от одной и. с. о. к другой в классической механике Ньютона для пространственных координат и времени справедливы преобразования Галилея, а в релятивистской механике (т. е. при скоростях движения, близких к скорости света) –преобразования Лоренца.

Материальная точка – тело, размерами, формой и внутренней структурой которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Материальная точка – объект абстрактный.

Абсолютно твёрдое тело (АТТ) – тело, расстояние между двумя любыми точками которого остаётся неизменным (деформацией тела можно пренебречь).

АТТ – объект абстрактный.

Финитное движение – движение в ограниченной области пространства, инфинитное движение – неограниченное в пространстве движение.

Положение точки А в пространстве задается радиус – вектором или тремя его проекциями на оси координат (рис.2).

Рис.2.

Следовательно, закон движения – это зависимость радиус-вектора от времени или зависимость координат во времени, где –радиус-вектор, –координаты точки; – единичные орты:

Кинематика

Кинематика –раздел механики, посвящённый изучению законов движения тел без учёта их масс и действующих сил.

Основные понятия кинематики

Например, по отношению к Земле (если пренебречь её суточным вращением) траектория свободной материальной точки, отпущенной без начальной скорости и движущейся под действием силы тяжести, будет прямая линия (вертикаль), а если точке сообщить начальную скорость 0 не направленную вдоль вертикали, то при отсутствии сопротивления воздуха её траектория будет парабола (рис. 5).

Путь – скалярная физическая величина, равная длине участка траектории , пройдённого материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени; в СИ: = м (метр).

В классической физике неявно предполагалось, что линейные размеры тела абсолютны, т.е. одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта. Однако, в специальной теории относительности доказывает относительность длин (cокращение линейных размеров тела в направлении его движения ).

Линейные размеры тела наибольшие в той системе отсчета, относительно которой тело покоится: Δl = Δ т.е. > , где – собственная длина тела, т.е. длина тела, измеренная в ИСО , относительно которой тело покоится, где .

Перемещение –вектор , соединяющий положение движущейся точки в начале и конце некоторого промежутка времени (рис. 6);в СИ: .

Рис.6.

– перемещение, ABCD – путь. Рис.7.

Из рис.6 видно, что , причём , где – длина пути:

Пример. Движение точки задано уравнениями:

Написать уравнение траектории движения точки и определить её координаты через после начала движения.

Рис.8.

Чтобы исключить время, параметр , найдём из первого уравнения , из второго . Затем возведём в квадрат и сложим. Так как , получим =1. Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.8).

Начальное положение точки (при ) определяется координатами , см . Через 1 сек . точка будет в положении с координатами:

Время (t ) – одна из категорий (наряду с пространством), обозначающая форму существования материи; форма протекания физических и психических процессов; выражает порядок смены явлений; условие возможности изменения, а также одна из координат пространства –времени, вдоль которой протянуты мировые линии физических тел ; в СИ: – секунда.

В классической физике неявно предполагалось, что время величина абсолютная, т.е. одинаково во всех инерциальных системах отсчёта .Однако, в специальной теории относительности была доказана зависимость времени от выбора инерциальной системы отсчёта: ,где –время, измеренное по часам наблюдателя, движущегося вместе с системой отсчёта. Отсюда следовал вывод об относительности одновременности , а именно: в отличие от классической физики, где предполагалось, что события одновременные в одной инерциальной системе отсчёта одновременны и в другой инерциальной системе отсчета, в релятивистском случае пространственно разобщённые события одновременные в одной инерциальной системе отсчёта могут быть неодновременными в другой системе отсчёта .

З.2. Скорость

Скорость (часто обозначается , или от англ. velocity или фр.vitesse )– векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направления движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта.

Мгновенная скорость – векторная величина, равная первой производной радиус вектора движущейся точки по времени (скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории ):

Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки (рис.9).

Рис. 9.

В прямоугольной декартовой системе координат:

В то же время , поэтому

Таким образом, координаты вектора скорости – это скорости изменения соответствующей координаты материальной точки:

или в обозначениях:

Тогда модуль скорости можно представить: В общем случае, путь отличен от модуля перемещения . Однако, если рассматривать путь , проходимый точкой за малый промежуток времени , то . Поэтому модуль вектора скорости равен первой производной от длины пути по времени: .

Если модуль скорости точки не изменяется с течением времени , то движение называется равномерным .

Для равномерного движения справедливо соотношение: .

Если модуль скорости изменяется со временем , то движение называется неравномерным.

Неравномерное движение характеризуется средней скоростью и ускорением .

Средней путевой скоростью неравномерного движения точки на данном участке ее траектории называется скалярная величина , равная отношению длины этого участка, траектории к продолжительности времени прохождения его точкой (рис.10): , где – путь, пройдённый точкой за время .

Рис. 10. Векторы мгновенной и средней скорости.

Рис. 11.

В общем случае зависимость скорости неравномерного движения от времени изображена на рис.11, где площадь закрашенной фигуры численно равна пройдённому пути .

В классической механике скорость – величина относительная, т.е. преобразуется при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно преобразованиям Галилея.

При рассмотрении сложного движения (то есть, когда точка или тело движется в одной системе отсчёта, а сама системе отсчёта движется относительно другой) возникает вопрос о связи скоростей в 2 – х системах отсчёта, который устанавливает классический закон сложения скоростей:

скорость тела относительно неподвижной системы отсчета равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы и скорости самой движущейся системы относительно неподвижной :

где –скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта, –скорость движущейся системы отсчёта относительно неподвижной системы, –скорость точки относительно движущейся системы отсчёта.

Пример:

1. Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, которую имеет точка пластинки под мухой относительно земли (то есть с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения).

2. Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50– 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55– 50 = 5 километров в час.

3. Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, и корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30– 30 = 0 километров в час, то есть относительно корабля они становятся неподвижными.

В релятивистском случае применяется релятивистский закон сложения скоростей: .

Из последней формулы следует, что скорость света – максимальная скорость передачи взаимодействий в природе.

Ускорение

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Ускорение (обычно обозначается ) –производная скорости по времени, векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Например, вблизи Земли падающее на Землю тело, в случае, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха, увеличивает свою скорость примерно на 9,81м/с каждую секунду, то есть, его ускорение, называемое ускорением свободного падения .

Производная ускорения по времени, т.е. величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок .

Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём дифференцирования вектора скорости материальной точки по времени:

.

Модуль ускорения величина алгебраическая:

– движение ускоренное (скорость возрастает по величине);

– движение замедленное (скорость уменьшается по величине);

– движение равномерное.

Если – движение равнопеременное (равноускоренное или равнозамедленное).

Среднее ускорение

Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло:

где –вектор среднего ускорения.

Направление вектора ускорения совпадает с направлением изменения скорости (здесь – это начальная скорость, то есть скорость, с которой тело начало ускоряться).

В момент времени тело имеет скорость . В момент времени тело имеет скорость (рис.12).Согласно правилу вычитания векторов найдём вектор изменения скорости . Тогда определить ускорение можно так:

Рис. 12.

.

Мгновенное ускорение.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

.

Направление ускорения также совпадает с направлением изменения скорости при очень малых значениях промежутка времени, за который происходит изменение скорости.

Вектор ускорения может быть задан проекциями на соответствующие оси координат в данной системе отсчёта:

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул:

,

где – углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Ускорение точки при прямолинейном движении

Если вектор , т.е.не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении справедливы формулы:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости , (т.е. ).

Рис. 13.

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть ,то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости . Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным . На рис. 13 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Ускорение точки при криволинейном движении

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих.

Действительно, при движении тела по криволинейной траектории его скорость изменяется по модулю и направлению. Изменение вектора скорости за некоторый малый промежуток времени можно задать с помощью вектора (рис. 14).

Вектор изменения скорости за малое время можно разложить на две составляющие: , направленную вдоль вектора (касательная составляющая), и , направленную перпендикулярно вектору (нормальная составляющая).

Тогда мгновенное ускорение равно: .

Направление вектора ускорения в случае криволинейного движения не совпадает с направлением вектора скорости Составляющие вектора ускорения называют касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями (рис.15).
Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении:

Направление вектора тангенциального ускорения (рис. 16) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное (центростремительное ) ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть, вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (рис. 15). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается символом . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории. Из рис. 15 видно, что

Рис. 17. Движение по дугам окружностей.

Криволинейное движение можно представить как движение по дугам окружностей (рис. 17).

Нормальное ускорение зависит от модуля скорости и от радиуса окружности, по дуге которой тело движется в данный момент.