שיעור מתמטיקה "משוואות" (כיתה ה'). משוואות לינאריות

שיעור מס' 33

נושא: משוואות

מטרות השיעור:

לסכם ולבצע שיטתיות של הידע של התלמידים בנושא הנלמד, להמשיך לעבוד על פיתוח היכולת לפתור משוואות ובעיות על ידי חיבור משוואות.

שפר את כישורי המחשוב של התלמידים

לטפח גישה אחראית ללמידה.

קריטריוני הצלחה

אני יודע …

אני מבין …

אני יכול ….

במהלך השיעורים

מבוא - רגע מוטיבציה

מתמטיקה, חברים,
בהחלט כולם צריכים את זה.
עובדים בחריצות בכיתה
וההצלחה בוודאי מחכה לך!

היום אנו ממשיכים ללמוד כיצד לפתור משוואות ובעיות בשיטת המשוואות.

עדכון ידע

כדי להשלים את המשימות, נסקור את המושגים הבסיסיים הדרושים לפתרון משוואות ובעיות שנפתרות באמצעות חיבור משוואות.

( )

איזה סוג של שוויון נקרא משוואה?

איזה מספר נקרא שורש המשוואה?

מה זה אומר לפתור משוואה?

איך בודקים אם משוואה נפתרת נכון?

בדיקת השלמת שיעורי בית (שקופית מס' 2)

(בדיקת השלמת שיעורי הבית מתבצעת באמצעות בדיקה עצמית)

פתרון על ידי תלמידים עם הגייה

(x – 87) – 27 = 36

87 – (41 + y) = 22

x – 87 = 36 + 27

41 + y = 87 - 22

x – 87 = 63

41 + y = 65

x = 63 + 87

y = 65 - 41

x = 150

y = 24

בְּדִיקָה

בְּדִיקָה

(150 – 87) - = 36

87 – (41 + 24) = 22

63 – 27 = 36

87 – 65 = 22

36 = 36 (נכון)

22 = 22 (נכון)

עבודה בעל פה

1. שמות את מספרי המשוואות (המשוואות כתובות על הלוח) שבהן יש למצוא את המונח.
באילו משוואות המינואנד לא ידוע?
באילו משוואות אתה צריך למצוא את המשנה?
באילו משוואות המונח לא ידוע?
מצא את השורשים של המשוואות.

x + 21 = 40; 2) a – 21 = 40; 3) 50 = a + 31; 4) s – 23 = 61; 5) 42 = 70 – y;

6) 38 - x = 38; 7) 25 – a = 25; 8) x + 32 = 32; 9) y – 0 = 27; 10) 60 – s = 35

(שקופית מס' 3)

עבודה קבוצתית
מצא מספר לא ידוע:

1) הוספנו 71 ללא נודע וקיבלנו 100.
(x + 71 = 100)
x = 100 - 71
x = 29
2) המכפלה של שני מספרים היא 72, גורם אחד הוא 12, מצא את הגורם השני.
12*X = 72
X = 72:12
X = 6
3) כאשר מחלקים מספר מסוים ב-9, המנה היא 11. מצא את המספר הזה.
x: 9 = 31
x = 31* 9
x = 279

עובדים על משוואות (שקופית מס' 5)

התלמידים מתבקשים ליצור שלוש משוואות לפי התנאים ולפתור את המשוואות לפי הסדר הבא:
1) ההפרש בין סכום המספרים "x" ו-40 גדול מהמספר 31 על 50.
(המשוואה נפתרת עם פרשנות)
2) המספר 70 גדול מסכום המספר 25 ו-"y" ב-38.
(התלמידים פותרים את המשוואה באופן עצמאי, ואחד התלמידים כותב את הפתרון בגב הלוח)
3) ההפרש בין המספר 120 למספר "a" קטן מהמספר 65 על 53.
(הפתרון למשוואה כתוב במלואו על הלוח, ולאחר מכן כל הכיתה דנה בפתרון המשוואה)

עובדים על משימות (שקופית מספר 6)

משימה מס' 1
היו כמה תפוחים בקופסה. לאחר שהוכנסו לתוכו 32 תפוחים נוספים, היו 81. כמה תפוחים היו במקור בקופסה?

מה אומרת הבעיה? אילו פעולות ביצעת עם התפוחים? מה צריך לדעת בבעיה? מה האות צריכה לייצג?
שיהיו X תפוחים בסל. לאחר שהוכנסו לתוכו 32 תפוחים נוספים, היו (x + 32) תפוחים, ולפי תנאי הבעיה היו בסל 81 תפוחים.
אז נוכל ליצור משוואה:
x + 32 = 81,
x = 81 - 32,
x = 49

בתחילה היו 49 תפוחים בסל.
תשובה: 49 תפוחים.

בעיה מס' 2
בסטודיו היו 70 (מ') של בד. שמלות נעשו מחלק מהבד ועוד 18 (מ') שימשו למכנסיים, ולאחר מכן נותרו 23 (מ'). כמה מטרים של בד שימשו לשמלות?

מה אומרת הבעיה? אילו פעולות ביצעת עם הבד? מה צריך לדעת בבעיה? מה האות צריכה לייצג?
תן X (m) של בד לשמש עבור שמלות. לאחר מכן (x + 18) מטרים של בד שימשו לתפירת שמלות ומכנסיים. לפי תנאי התקלה, ידוע שנותרו 23 מ'.
אז נוכל ליצור משוואה:
70 – (x + 18) = 23,
x + 18 = 70 - 23,
x + 18 = 47,
x = 47 - 18,
x = 29.

לשמלות נעשה שימוש ב-29 מטרים של בד.
תשובה: 29 מטר.

עבודה עצמאית (שקופית מס' 7)

עבודה עצמאית מוצעת לסטודנטים בשתי אפשרויות.

אפשרות 1

אפשרות 2

פתרו את המשוואות:

פתרו את המשוואות:

1) 320 – x = 176

1) 450 – y = 246

2) y + 294 = 501

2) x + 386 = 602

Makarova T.P., בית ספר תיכון GBOU מס' 618 אימון "משוואות" כיתה ה'

הדרכה לכיתה ה' בנושא "משוואות" ב-2 גרסאות

מקרובה טטיאנה פבלובנה,

מורה, בית ספר תיכון מס' 618, מוסקבה

השתתפות: כיתה ה'

האימון מכוון לבדיקת הידע והמיומנויות של התלמידים בנושא "משוואות". ההכשרה מיועדת לתלמידי כיתות ה' לספר הלימוד מאת נ"י וילנקין, וי"י ז'וחובה ואחרים. ספר לימוד לכיתה ה'. – M.: Mnemosyne, 2013. – 288 עמ'. המבחן מכיל שתי אפשרויות מקבילות בעלות קושי שווה, תשע משימות כל אחת (4 משימות ברירות רבות, 3 משימות תשובות קצרות, 2 משימות פתרון מורחב).

הכשרה זו תואמת באופן מלא את התקן החינוכי של המדינה הפדרלית (דור שני), יכולה לשמש במהלך ניטור כיתות, וניתן להשתמש בה גם על ידי תלמידי כיתה ה' לעבודה עצמאית בנושא.

15 עד 25 דקות של זמן שיעור מוקצים להשלמת המבחן. מפתחות כלולים.

הדרכה לכיתה ה' בנושא "משוואות". אופציה 1.

№עמ

תרגיל

תשובה

פתור את המשוואה

574

1124

1114

1024

מצא את שורש המשוואה

(156-איקס )+43=170.

1) השורש של משוואה הוא ערכה של אות.

2) שורש המשוואה (23 - איקס) – 21 = 2 אינו מספר טבעי.

3) כדי למצוא את המשנה הלא ידוע, עליך להחסיר את ההפרש מהמינואנד.

4) משוואה x – x= 0 יש בדיוק שורש אחד.

פטיה חשבה על מספר. אם מוסיפים 43 למספר הזה, ומוסיפים 77 לכמות המתקבלת, מקבלים 258. איזה מספר חשבה לפטיה?

1) (איקס + 43) – 77 = 258

2) (איקס + 43) + 77 = 258

3) (איקס – 43) + 77 = 258

4) (איקס – 43) – 77 = 258

פתרו את המשוואה: (5· עם – 8) : 2 = 121: 11.

פתרו את המשוואה: 821 – ( M + 268) = 349.

מצא את הערך של המספר א, אם 8 א + 9איקס= 60 ו איקס=4.

פתור את הבעיה באמצעות המשוואה. בספרייה היו 125 ספרים על מתמטיקה. לאחר שהתלמידים לקחו מספר ספרים ולאחר מכן החזירו 3 ספרים, היו 116 ספרים. כמה ספרים לקחו התלמידים בסך הכל?

פתור את המשוואה:

456 + (איקס – 367) – 225 =898

הדרכה לכיתה ה' בנושא "משוואות". אפשרות 2.

№עמ

תרגיל

תשובה

חלק 1. משימה רב ברירה

פתור את המשוואה

525

1081

535

1071

מצא את שורש המשוואה

942 – (y + 142) = 419.

391

481

1219

381

ציין את המספרים של ההיגדים הנכונים:

1) משוואה היא שוויון המכילה אות שיש למצוא את ערכה.

2) כל מספר טבעי הוא שורש המשוואה

3) שורש משוואה הוא ערך האות שבה מתקבל הביטוי המספרי הנכון מהמשוואה.

4) כדי למצוא את הדיבידנד הלא ידוע, עליך להוסיף מחלק למנה.

דאשה חשבה על מספר. אם תוסיפו 43 למספר הזה ותחסירו 77 מהכמות המתקבלת, תקבלו 258. איזה מספר חשב על דאשה?

1) (איקס + 43) – 77 = 258

2) (איקס + 43) + 77 = 258

3) (איקס – 43) + 77 = 258

4) (איקס – 43) – 77 = 258

חלק 2. משימת תשובה קצרה

פתרו את המשוואה: 63: (2· איקס – 1) = 21: 3.

פתרו את המשוואה: 748 – ( ב +248) = 300.

מצא את הערך של המספר א, אם 7 א – 3איקס= 41 ו איקס=5.

חלק 3. משימות עם פתרונות מפורטים

פתור את הבעיה באמצעות המשוואה. במחסן היו 197 מכונות. לאחר שחלקן נמכרו והובאו עוד 86 מכונות, נותרו במחסן 115 מכונות. כמה מכונות נמכרו בסך הכל?

משוואה היא שוויון שבו יש איבר לא ידוע - x. יש למצוא את המשמעות שלו.

הכמות הלא ידועה נקראת שורש המשוואה. פתרון משוואה פירושו למצוא את השורש שלה, וכדי לעשות זאת צריך לדעת את תכונות המשוואות. המשוואות לכיתה ה' אינן קשות, אבל אם תלמד לפתור אותן נכון, לא יהיו לך בעיות איתן בעתיד.

התכונה העיקרית של המשוואות

כאשר שני הצדדים של משוואה משתנים באותה כמות, היא ממשיכה להיות אותה משוואה עם אותו שורש. בואו נפתור כמה דוגמאות כדי להבין טוב יותר את הכלל הזה.

כיצד לפתור משוואות: חיבור או חיסור

נניח שיש לנו משוואה בצורה:

• a + x = b - כאן a ו-b הם מספרים, ו-x הוא האיבר הלא ידוע של המשוואה.

אם נוסיף (או נחסר מהם) את הערך c לשני הצדדים של המשוואה, הוא לא ישתנה:

• a + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

דוגמה 1

בואו נשתמש בתכונה זו כדי לפתור את המשוואה:

• 37+x=51

הורידו את המספר 37 משני הצדדים:

• 37+x-37=51-37

אנחנו מקבלים:

• x=51-37.

שורש המשוואה הוא x=14.

אם נסתכל מקרוב על המשוואה האחרונה, נוכל לראות שהיא זהה למשוואה הראשונה. פשוט העברנו איבר 37 מצד אחד של המשוואה לצד השני, והחלפנו את הפלוס במינוס.

מסתבר שניתן להעביר כל מספר מחלק אחד של המשוואה לאחר עם הסימן ההפוך.

דוגמה 2

• 37+x=37+22

בוא נבצע את אותה פעולה, נעביר את המספר 37 מהצד השמאלי של המשוואה ימינה:

• x=37-37+22

מאז 37-37=0, אנחנו פשוט מצמצמים את זה ומקבלים:

• x =22.

מונחים זהים של משוואה עם אותו סימן, הממוקמים בחלקים שונים של המשוואה, ניתנים להפחתה (מחצה החוצה).

הכפלה וחלוקה של משוואות

ניתן גם להכפיל או לחלק את שני הצדדים של השוויון באותו מספר:

אם השוויון a = b מחולק או מוכפל ב-c, הוא לא משתנה:

• a/c = b/c,
• ac = bс.

דוגמה 3

• 5x = 20

נחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-5:

• 5x/5 = 20/5.

מכיוון ש-5/5 = 1, אנו מצמצמים את המכפיל והמחלק בצד שמאל של המשוואה ומקבלים:

• x = 20/5, x=4

דוגמה 4

• 5x = 5a

אם מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב-5, נקבל:

• 5x/5 = 5a/5.

ה-5 במונה ובמכנה של הצדדים השמאלי והימני מתבטלים, וכתוצאה מכך x = a. המשמעות היא שגורמים זהים בצד שמאל וימין של המשוואות מתבטלים.

בואו נפתור דוגמה נוספת:

• 13 + 2x = 21

נעביר איבר 13 מהצד השמאלי של המשוואה לימין עם הסימן ההפוך:

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

מחלקים את שני הצדדים של המשוואה ב-2, נקבל:

• x = 4.

בסרטון זה ננתח קבוצה שלמה של משוואות ליניאריות שנפתרות באמצעות אותו אלגוריתם - לכן הן נקראות הפשוטות ביותר.

ראשית, בואו נגדיר: מהי משוואה לינארית ואיזו מהן נקראת הפשוטה ביותר?

משוואה לינארית היא כזו שיש בה רק משתנה אחד, ורק במעלה הראשונה.

המשוואה הפשוטה ביותר פירושה הבנייה:

כל שאר המשוואות הליניאריות מצטמצמות לפשוטה ביותר באמצעות האלגוריתם:

1. הרחב סוגריים, אם יש;
2. העבר מונחים המכילים משתנה לצד אחד של סימן השוויון, ומונחים ללא משתנה לצד השני;
3. תן מונחים דומים לשמאל ולימין של סימן השוויון;
4. חלקו את המשוואה המתקבלת במקדם של המשתנה $x$.

כמובן, אלגוריתם זה לא תמיד עוזר. העובדה היא שלפעמים לאחר כל התכסיסים הללו, מקדם המשתנה $x$ מתברר כשווה לאפס. במקרה זה, שתי אפשרויות אפשריות:

1. למשוואה אין פתרונות כלל. לדוגמה, כאשר מתברר משהו כמו $0\cdot x=8$, כלומר. משמאל הוא אפס, ומימין מספר שאינו אפס. בסרטון למטה נבחן מספר סיבות מדוע מצב זה אפשרי.
2. הפתרון הוא כל המספרים. המקרה היחיד שבו זה אפשרי הוא כאשר המשוואה הצטמצמה למבנה $0\cdot x=0$. זה די הגיוני שלא משנה באיזה $x$ נחליף, עדיין יתברר ש"אפס שווה לאפס", כלומר. שוויון מספרי נכון.

עכשיו בואו נראה איך כל זה עובד באמצעות דוגמאות מהחיים האמיתיים.

דוגמאות לפתרון משוואות

היום אנחנו עוסקים במשוואות ליניאריות, ורק בפשוטות שבהן. באופן כללי, משוואה ליניארית פירושה כל שוויון שמכיל בדיוק משתנה אחד, והוא מגיע רק לדרגה הראשונה.

מבנים כאלה נפתרים בערך באותו אופן:

1. קודם כל, אתה צריך להרחיב את הסוגריים, אם יש כאלה (כמו בדוגמה האחרונה שלנו);
2. ואז לשלב דומה
3. לבסוף, לבודד את המשתנה, כלומר. להעביר את כל מה שקשור למשתנה - המונחים שבהם הוא כלול - לצד אחד, ולהעביר את כל מה שנשאר בלעדיו לצד השני.

אז, ככלל, אתה צריך לתת דומים בכל צד של השוויון המתקבל, ואחרי זה כל מה שנותר הוא לחלק במקדם של "x", ונקבל את התשובה הסופית.

בתיאוריה זה נראה נחמד ופשוט, אבל בפועל, אפילו תלמידי תיכון מנוסים יכולים לעשות טעויות פוגעניות במשוואות ליניאריות פשוטות למדי. בדרך כלל, שגיאות נעשות בעת פתיחת סוגריים או בעת חישוב ה"פלוסים" וה"מינוסים".

בנוסף, קורה שלמשוואה לינארית אין פתרונות כלל, או שהפתרון הוא כל קו המספרים, כלומר. כל מספר. נסתכל על הדקויות הללו בשיעור של היום. אבל נתחיל, כפי שכבר הבנתם, עם המשימות הפשוטות ביותר.

תכנית לפתרון משוואות ליניאריות פשוטות

ראשית, הרשו לי לכתוב שוב את כל הסכימה לפתרון המשוואות הליניאריות הפשוטות ביותר:

1. הרחב את הסוגריים, אם יש.
2. אנו מבודדים את המשתנים, כלומר. אנחנו מעבירים את כל מה שמכיל "X" לצד אחד, וכל מה שאין "X" לצד השני.
3. אנו מציגים מונחים דומים.
4. אנו מחלקים הכל במקדם של "x".

כמובן, תוכנית זו לא תמיד עובדת; יש בה דקויות וטריקים מסוימים, ועכשיו נכיר אותם.

פתרון דוגמאות אמיתיות של משוואות ליניאריות פשוטות

משימה מס' 1

השלב הראשון מחייב אותנו לפתוח את הסוגריים. אבל הם לא בדוגמה הזו, אז אנחנו מדלגים על שלב זה. בשלב השני עלינו לבודד את המשתנים. שימו לב: אנחנו מדברים רק על מונחים בודדים. בוא נרשום את זה:

אנו מציגים מונחים דומים משמאל ומימין, אבל זה כבר נעשה כאן. לכן, נעבור לשלב הרביעי: חלקו במקדם:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

אז קיבלנו את התשובה.

משימה מס' 2

אנו יכולים לראות את הסוגריים בבעיה זו, אז בואו נרחיב אותם:

גם משמאל וגם מימין רואים בערך את אותו עיצוב, אבל בואו נפעל לפי האלגוריתם, כלומר. הפרדת המשתנים:

הנה כמה דומים:

באילו שורשים זה עובד? תשובה: לכל. לכן, נוכל לכתוב ש$x$ הוא כל מספר.

משימה מס' 3

המשוואה הליניארית השלישית מעניינת יותר:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

יש כאן כמה סוגריים, אבל הם לא מוכפלים בכלום, פשוט קודמים להם סימנים שונים. בואו נפרק אותם:

אנו מבצעים את השלב השני שכבר ידוע לנו:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

בוא נעשה את החישוב:

אנו מבצעים את השלב האחרון - מחלקים הכל במקדם של "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

דברים שכדאי לזכור בעת פתרון משוואות ליניאריות

אם נתעלם ממשימות פשוטות מדי, ברצוני לומר את הדברים הבאים:

• כפי שאמרתי למעלה, לא לכל משוואה לינארית יש פתרון - לפעמים פשוט אין שורשים;
• גם אם יש שורשים, יכול להיות שיש ביניהם אפס - אין בזה שום פסול.

אפס הוא אותו מספר כמו האחרים; אתה לא צריך להפלות אותו בשום צורה או להניח שאם אתה מקבל אפס, אז עשית משהו לא בסדר.

תכונה נוספת קשורה לפתיחת סוגריים. שימו לב: כשיש מולם "מינוס" אנחנו מסירים אותו, אבל בסוגריים משנים את הסימנים ל מול. ואז נוכל לפתוח אותו באמצעות אלגוריתמים סטנדרטיים: נקבל את מה שראינו בחישובים למעלה.

הבנת העובדה הפשוטה הזו תעזור לכם להימנע מטעויות מטופשות ופוגעות בתיכון, כאשר עשיית דברים כאלה מובנים מאליהם.

פתרון משוואות לינאריות מורכבות

נעבור למשוואות מורכבות יותר. כעת הקונסטרוקציות יהפכו מורכבות יותר וכאשר מבצעים טרנספורמציות שונות תופיע פונקציה ריבועית. עם זאת, אל לנו לפחד מכך, כי אם, על פי התוכנית של המחבר, אנו פותרים משוואה ליניארית, אז במהלך תהליך הטרנספורמציה כל המונומיאלים המכילים פונקציה ריבועית בהחלט יתבטלו.

דוגמה מס' 1

ברור שהשלב הראשון הוא לפתוח את הסוגריים. בוא נעשה זאת בזהירות רבה:

עכשיו בואו נסתכל על הפרטיות:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

הנה כמה דומים:

ברור שלמשוואה זו אין פתרונות, אז נכתוב זאת בתשובה:

\[\varnothing\]

או שאין שורשים.

דוגמה מס' 2

אנחנו מבצעים את אותן פעולות. צעד ראשון:

בוא נעביר כל דבר עם משתנה שמאלה, ובלעדיו - ימינה:

הנה כמה דומים:

ברור שלמשוואה לינארית זו אין פתרון, אז נכתוב אותה כך:

\[\varnothing\],

או שאין שורשים.

ניואנסים של הפתרון

שתי המשוואות נפתרות לחלוטין. אם השתמשנו בשני הביטויים הללו כדוגמה, שוב השתכנענו שאפילו במשוואות הליניאריות הפשוטות ביותר, אולי הכל לא כל כך פשוט: יכול להיות או אחד, או אף אחד, או אינסוף שורשים. במקרה שלנו, שקלנו שתי משוואות, לשתיהן פשוט אין שורשים.

אבל אני רוצה להסב את תשומת לבכם לעובדה נוספת: איך עובדים עם סוגריים ואיך פותחים אותם אם יש לפניהם סימן מינוס. שקול את הביטוי הזה:

לפני הפתיחה, אתה צריך להכפיל הכל ב- "X". שימו לב: מכפיל כל מונח בודד. בפנים יש שני איברים - בהתאמה, שני איברים וכפול.

ורק לאחר שהושלמו התמורות היסודיות לכאורה, אך חשובות ומסוכנות אלו, ניתן לפתוח את הסוגר מנקודת מבט של העובדה שיש אחריו סימן מינוס. כן, כן: רק עכשיו, כשהטרנספורמציות מסתיימות, אנחנו זוכרים שיש סימן מינוס מול הסוגריים, מה שאומר שכל מה שלמטה פשוט משנה סימנים. במקביל, הסוגריים עצמם נעלמים, והכי חשוב, גם ה"מינוס" הקדמי נעלם.

אנחנו עושים את אותו הדבר עם המשוואה השנייה:

לא סתם אני שם לב לעובדות הקטנות האלה, לכאורה חסרות משמעות. כי פתרון משוואות הוא תמיד רצף של טרנספורמציות יסודיות, כאשר חוסר היכולת לבצע פעולות פשוטות בצורה ברורה ומוכשרת מוביל לכך שתלמידי תיכון מגיעים אליי ושוב לומדים לפתור משוואות פשוטות כאלה.

כמובן, יבוא היום שבו תחדד את המיומנויות הללו עד כדי אוטומטיות. לא תצטרך עוד לבצע כל כך הרבה טרנספורמציות בכל פעם; אתה תכתוב הכל בשורה אחת. אבל בזמן שאתה רק לומד, אתה צריך לכתוב כל פעולה בנפרד.

פתרון משוואות לינאריות מורכבות עוד יותר

מה שאנחנו הולכים לפתור עכשיו בקושי יכול להיקרא המשימה הפשוטה ביותר, אבל המשמעות נשארת זהה.

משימה מס' 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

בוא נכפיל את כל המרכיבים בחלק הראשון:

בואו נעשה קצת פרטיות:

הנה כמה דומים:

בוא נשלים את השלב האחרון:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

הנה התשובה הסופית שלנו. ולמרות העובדה שבתהליך הפתרון היו לנו מקדמים עם פונקציה ריבועית, הם ביטלו זה את זה, מה שהופך את המשוואה ללינארית ולא ריבועית.

משימה מס' 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

בואו נבצע בזהירות את השלב הראשון: נכפיל כל אלמנט מהסוגר הראשון בכל אלמנט מהשני. אמורים להיות בסך הכל ארבעה מונחים חדשים לאחר השינויים:

כעת נבצע בזהירות את הכפל בכל איבר:

בואו נעביר את המונחים עם "X" שמאלה, ואלה ללא - ימינה:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

להלן מונחים דומים:

שוב קיבלנו את התשובה הסופית.

ניואנסים של הפתרון

ההערה החשובה ביותר לגבי שתי המשוואות הללו היא הבאה: ברגע שאנו מתחילים להכפיל סוגריים המכילים יותר מאיבר אחד, הדבר נעשה על פי הכלל הבא: אנו לוקחים את האיבר הראשון מהראשון ומכפילים עם כל אלמנט מ השני; אז ניקח את האלמנט השני מהראשון ובאופן דומה נכפיל עם כל אלמנט מהשני. כתוצאה מכך, יהיו לנו ארבע קדנציות.

לגבי הסכום האלגברי

עם הדוגמה האחרונה הזו, ברצוני להזכיר לתלמידים מהו סכום אלגברי. במתמטיקה הקלאסית, ב-$1-7$ אנחנו מתכוונים לבנייה פשוטה: מפחיתים שבעה מאחד. באלגברה, אנו מתכוונים בכך: למספר "אחד" אנו מוסיפים מספר נוסף, כלומר "מינוס שבע". כך שונה סכום אלגברי מסכום אריתמטי רגיל.

ברגע שבביצוע כל התמורות, כל חיבור וכפל, אתה מתחיל לראות מבנים דומים לאלו שתוארו לעיל, פשוט לא יהיו לך בעיות באלגברה בעבודה עם פולינומים ומשוואות.

לבסוף, בואו נסתכל על עוד כמה דוגמאות שיהיו מורכבות אפילו יותר מאלו שראינו זה עתה, וכדי לפתור אותן נצטרך להרחיב מעט את האלגוריתם הסטנדרטי שלנו.

פתרון משוואות עם שברים

כדי לפתור משימות כאלה, נצטרך להוסיף עוד שלב אחד לאלגוריתם שלנו. אבל ראשית, הרשו לי להזכיר לכם את האלגוריתם שלנו:

1. לפתוח את הסוגריים.
2. הפרד משתנים.
3. תביא דומים.
4. מחלקים ביחס.

אבוי, האלגוריתם הנפלא הזה, עם כל היעילות שלו, מתברר כלא מתאים כשיש לפנינו שברים. ובמה שנראה להלן, יש לנו שבר גם בשמאל וגם בימין בשתי המשוואות.

איך עובדים במקרה זה? כן, זה מאוד פשוט! כדי לעשות זאת, אתה צריך להוסיף עוד שלב אחד לאלגוריתם, שניתן לעשות גם לפני ואחרי הפעולה הראשונה, כלומר להיפטר משברים. אז האלגוריתם יהיה כדלקמן:

1. היפטר משברים.
2. לפתוח את הסוגריים.
3. הפרד משתנים.
4. תביא דומים.
5. מחלקים ביחס.

מה זה אומר "להיפטר משברים"? ולמה אפשר לעשות זאת גם אחרי וגם לפני הצעד הסטנדרטי הראשון? למעשה, במקרה שלנו, כל השברים הם מספריים במכנה שלהם, כלומר. בכל מקום המכנה הוא רק מספר. לכן, אם נכפיל את שני הצדדים של המשוואה במספר זה, נפטר משברים.

דוגמה מס' 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

בואו נפטר מהשברים במשוואה הזו:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2)))-1 \right)\cdot 4\]

שימו לב: הכל מוכפל ב"ארבע" פעם אחת, כלומר. זה שיש לך שני סוגריים לא אומר שאתה צריך להכפיל כל אחד ב"ארבע". בואו נרשום:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

עכשיו נרחיב:

אנו מבודדים את המשתנה:

אנו מבצעים הפחתת מונחים דומים:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

קיבלנו את הפתרון הסופי, נעבור למשוואה השנייה.

דוגמה מס' 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

כאן אנו מבצעים את כל אותן הפעולות:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

הבעיה נפתרה.

זה, למעשה, כל מה שרציתי לומר לך היום.

נקודות מפתח

הממצאים העיקריים הם:

• הכר את האלגוריתם לפתרון משוואות ליניאריות.
• יכולת פתיחת סוגריים.
• אל תדאג אם יש לך פונקציות ריבועיות איפשהו; סביר להניח שהן יצטמצמו בתהליך של טרנספורמציות נוספות.
• ישנם שלושה סוגים של שורשים במשוואות ליניאריות, אפילו הפשוטות ביותר: שורש אחד, כל קו המספרים הוא שורש, וללא שורשים כלל.

אני מקווה ששיעור זה יעזור לך לשלוט בנושא פשוט, אך חשוב מאוד להבנה נוספת של כל המתמטיקה. אם משהו לא ברור, היכנסו לאתר ופתרו את הדוגמאות המוצגות שם. הישארו מעודכנים, עוד הרבה דברים מעניינים מחכים לכם!