Grafische Ableitung. An welchem ​​Punkt ist der Wert des Derivats am größten?

Jobtyp: 7

Bedingung

Die Linie y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b unter der Voraussetzung, dass die Abszisse des Berührungspunkts kleiner als Null ist.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion als auch zum Tangens, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte kleiner Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antworten

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=-3x+4 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Die Steigung der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist y"(x_0). Aber y"=-2x+5, also y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Der in der Bedingung angegebene Winkelkoeffizient der Linie y=-3x+4 ist -3.Parallele Linien haben die gleichen Steigungen.Daher finden wir einen solchen Wert x_0, dass =-2x_0 +5=-3.

Wir erhalten: x_0 = 4.

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Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

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Entscheidung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(-6; 2) und B(-1; 1) verläuft. Bezeichne mit C(-6; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=-6 und y=1 und mit \alpha den Winkel ABC (in der Abbildung ist zu sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen stumpfen Winkel \pi -\alpha.

Wie Sie wissen, ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0. beachte das tg \alpha=\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Von hier aus erhalten wir durch die Reduktionsformeln: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

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Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=-2x-4 tangiert den Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12. Finden Sie b unter der Voraussetzung, dass die Abszisse des Berührungspunkts größer als Null ist.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12 durch die

tangiert diesen Graphen.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, also y "(x_0)=32x_0+b=-2. Andererseits gehört der Tangentenpunkt sowohl zum Graphen der Funktion und die Tangente, also 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(Fälle)

Wenn wir das System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Je nach Zustand der Abszisse sind die Berührungspunkte größer Null, also x_0=1, dann b=-2-32x_0=-34.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), die auf dem Intervall (-2; 8) definiert ist. Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden y=6 verläuft.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Die Linie y=6 ist parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir solche Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse ist. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen können, gibt es 4 Extrempunkte.

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Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Linie y=4x-6 ist parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9. Finde die Abszisse des Kontaktpunktes.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y \u003d x ^ 2-4x + 9 an einem beliebigen Punkt x_0 ist y "(x_0). Aber y" \u003d 2x-4, was bedeutet y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Die in der Bedingung angegebene Steigung der Tangente y \u003d 4x-7 ist gleich 4. Parallele Linien haben die gleichen Steigungen. Daher finden wir einen solchen Wert x_0, dass 2x_0-4 \u003d 4. Wir bekommen : x_0 \u003d 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Die geometrische Bedeutung der Ableitung. Tangente an den Funktionsgraphen

Bedingung

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x_0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.

Lösung anzeigen

Entscheidung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(1; 1) und B(5; 4) verläuft. Bezeichne mit C(5; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=5 und y=1 und mit \alpha den Winkel BAC (in der Abbildung ist zu sehen, dass er scharf ist). Dann bildet die Linie AB mit der positiven Richtung der Ox-Achse einen Winkel \alpha.

Die Operation, eine Ableitung zu finden, wird Differentiation genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen, Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen zu finden, indem die Ableitung als Grenze des Verhältnisses des Inkrements zum Inkrement des Arguments definiert wurde, erschien eine Ableitungstabelle und genau definierte Ableitungsregeln . Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren die ersten, die sich mit dem Auffinden von Derivaten beschäftigten.

Um die Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, ist es daher heutzutage nicht erforderlich, die oben erwähnte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern nur die Tabelle zu verwenden von Derivaten und die Regeln der Differenzierung. Der folgende Algorithmus eignet sich zum Auffinden der Ableitung.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Strichzeichen einfache Funktionen zerlegen und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) diese Funktionen sind verwandt. Außerdem finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen des Produkts, der Summe und des Quotienten - in den Ableitungsregeln. Die Ableitungstabelle und Ableitungsregeln folgen nach den ersten beiden Beispielen.

Beispiel 1 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Aus den Ableitungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung der Summe der Funktionen die Summe der Ableitungen der Funktionen ist, d.h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von "X" gleich eins ist und die Ableitung des Sinus Kosinus ist. Wir ersetzen diese Werte in der Summe der Ableitungen und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Als Ableitung der Summe differenzieren, bei der der zweite Term mit konstantem Faktor aus dem Vorzeichen der Ableitung genommen werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, woher etwas kommt, werden sie in der Regel nach der Lektüre der Ableitungstabelle und der einfachsten Ableitungsregeln klar. Wir gehen gleich zu ihnen.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstanten (Zahl). Jede Zahl (1, 2, 5, 200 ...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer null. Es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, da es sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Meistens "x". Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, sich daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nicht-Quadratwurzeln in eine Potenz umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen hoch -1
5. Ableitung der Quadratwurzel
6. Sinusableitung
7. Cosinus-Ableitung
8. Tangensableitung
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arkuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des inversen Tangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung der Exponentialfunktion

Abgrenzungsregeln

1. Ableitung der Summe oder Differenz
2. Derivat eines Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar sind, dann an der gleichen Stelle die Funktionen

und

jene. die Ableitung der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen durch eine Konstante unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen, d.h.

Regel 2Wenn funktioniert

an einer Stelle differenzierbar sind, dann ist auch ihr Produkt an derselben Stelle differenzierbar

und

jene. die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folge 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden:

Folge 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes der Faktoren und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3Wenn funktioniert

irgendwann differenzierbar und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbar.u/v und

jene. die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner das Quadrat des ersteren Zählers ist .

Wo kann man auf anderen Seiten suchen

Bei der Bestimmung der Ableitung des Produkts und des Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Ableitungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie weitere Beispiele zu diesen Ableitungen im Artikel."Die Ableitung eines Produkts und eines Quotienten".

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in der Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist dessen Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird er aus dem Vorzeichen der Ableitungen herausgenommen. Dies ist ein typischer Fehler, der in der Anfangsphase des Ableitungsstudiums auftritt, aber wenn der durchschnittliche Schüler mehrere Ein-Zwei-Komponenten-Beispiele löst, macht der durchschnittliche Schüler diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie beim Differenzieren eines Produkts oder eines Quotienten einen Begriff haben u"v, indem u- eine Zahl, z. B. 2 oder 5, dh eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (ein solcher Fall wird in Beispiel 10 analysiert). .

Ein weiterer häufiger Fehler ist die mechanische Lösung der Ableitung einer komplexen Funktion als Ableitung einer einfachen Funktion. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion einem eigenen Artikel gewidmet. Aber zuerst werden wir lernen, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Auf Transformationen von Ausdrücken kann man dabei nicht verzichten. Dazu müssen Sie möglicherweise in neuen Windows-Handbüchern öffnen Aktionen mit Kräften und Wurzeln und Aktionen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen mit Potenzen und Wurzeln suchen, dh wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion " Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln".

Wenn Sie eine Aufgabe wie z , dann befinden Sie sich in der Lektion "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen".

Schritt-für-Schritt-Beispiele - wie man die Ableitung findet

Beispiel 3 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Wir bestimmen die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt das Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, von denen einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall ist in jeder Summe der zweite Term mit einem Minuszeichen versehen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. Also wird "x" zu eins und minus 5 - zu null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten die folgenden Werte von Derivaten:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die durch die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 4 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten finden. Wir wenden die Formel zum Ableiten eines Quotienten an: Die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für solche Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Stapel von Wurzeln und Graden gibt, wie zum Beispiel dann willkommen im Unterricht "Die Ableitung der Summe von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln" .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren möchten, das heißt, wann die Funktion aussieht , dann hast du Unterricht "Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen" .

Beispiel 5 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen einer der Faktoren die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, mit deren Ableitung wir uns in der Ableitungstabelle vertraut gemacht haben. Nach der Produktdifferenzierungsregel und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Beispiel 6 Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Entscheidung. In dieser Funktion sehen wir den Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Nach der Ableitungsregel des Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem Tabellenwert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um den Bruch im Zähler loszuwerden, multipliziere Zähler und Nenner mit .

In der Zwischenzeit ( a,b), a X- ist ein zufällig ausgewählter Punkt des gegebenen Intervalls. Lassen Sie uns ein Argument liefern X ZuwachsΔx (positiv oder negativ).

Die Funktion y \u003d f (x) erhält ein Inkrement Δy gleich:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

Für unendlich kleine Δх Zuwachs Auch Δy ist unendlich klein.

Zum Beispiel:

Betrachten Sie die Lösung der Ableitung einer Funktion am Beispiel des freien Falls eines Körpers.

Da t 2 \u003d t l + Δt, dann

.

Wenn wir die Grenze berechnen, finden wir:

Die Notation t 1 wird eingeführt, um die Konstanz von t bei der Berechnung des Grenzwerts einer Funktion hervorzuheben. Da t 1 ein beliebiger Zeitwert ist, kann der Index 1 weggelassen werden; dann bekommen wir:

Es ist zu erkennen, dass die Geschwindigkeit v, wie der Weg s, Essen Funktion Zeit. Funktionstyp v hängt ganz von der Art der Funktion ab s, also die Funktion s Art "erzeugt" eine Funktion v. Daher der Name " Ableitungsfunktion».

Betrachten Sie einen anderen Beispiel.

Finden Sie den Wert der Ableitung einer Funktion:

y = x2 bei x = 7.

Entscheidung. Bei x = 7 wir haben y=7 2=49. Lassen Sie uns ein Argument liefern X Zuwachs Δ X. Das Argument wird 7 + Δ X, und die Funktion erhält den Wert (7 + Δ X) 2.

Funktionsforschung. In diesem Artikel werden wir über Aufgaben sprechen, bei denen Funktionen berücksichtigt werden, und unter der Bedingung, dass es Fragen zu ihrem Studium gibt. Betrachten Sie die wichtigsten theoretischen Punkte, die Sie kennen und verstehen müssen, um sie zu lösen.

Dies ist eine ganze Gruppe von Aufgaben, die in der Prüfung in Mathematik enthalten sind. Normalerweise wird die Frage gestellt, ob man die Punkte des Maximums (Minimums) finden oder den größten (kleinsten) Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall bestimmen möchte.Betrachtet:

— Macht und irrationale Funktionen.

— Rationale Funktionen.

— Studium von Werken und privat.

— Logarithmische Funktionen.

- Trigonometrische Funktionen.

Wenn Sie die Grenzwerttheorie, das Konzept einer Ableitung, die Eigenschaften einer Ableitung zum Studium von Funktionsgraphen und ihre verstehen, werden Ihnen solche Probleme keine Schwierigkeiten bereiten und Sie werden sie mit Leichtigkeit lösen.

Die folgenden Informationen sind theoretische Punkte, deren Verständnis es ermöglicht, zu erkennen, wie solche Probleme gelöst werden können. Ich werde versuchen, sie so zu formulieren, dass selbst diejenigen, die dieses Thema verpasst oder schlecht studiert haben, solche Probleme ohne große Schwierigkeiten lösen können.

Bei den Problemen dieser Gruppe ist es, wie bereits erwähnt, erforderlich, entweder den minimalen (maximalen) Punkt der Funktion oder den größten (kleinsten) Wert der Funktion auf dem Intervall zu finden.

Mindest- und Höchstpunktzahl.Abgeleitete Eigenschaften.

Betrachten Sie den Graphen der Funktion:

Punkt A ist der Maximalpunkt, auf dem Intervall von O nach A nimmt die Funktion zu, auf dem Intervall von A nach B nimmt sie ab.

Punkt B ist ein Minimumpunkt, im Intervall von A nach B nimmt die Funktion ab, im Intervall von B nach C nimmt sie zu.

An diesen Punkten (A und B) verschwindet die Ableitung (gleich Null).

Die Tangenten an diesen Punkten sind parallel zur Achse Ochse.

Ich füge hinzu, dass die Punkte, an denen die Funktion ihr Verhalten von ansteigend zu fallend (und umgekehrt von fallend zu steigend) ändert, als Extrema bezeichnet werden.

Wichtiger Punkt:

1. Die Ableitung bei zunehmenden Intervallen hat ein positives Vorzeichen (nWenn man einen Wert aus dem Intervall in die Ableitung einsetzt, erhält man eine positive Zahl).

Wenn also die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen positiven Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall zu.

2. In den abnehmenden Intervallen hat die Ableitung ein negatives Vorzeichen (wenn der Wert aus dem Intervall in den Ableitungsausdruck eingesetzt wird, erhält man eine negative Zahl).

Wenn also die Ableitung an einem bestimmten Punkt aus einem bestimmten Intervall einen negativen Wert hat, dann nimmt der Graph der Funktion in diesem Intervall ab.

Das muss deutlich gemacht werden!

Indem Sie also die Ableitung berechnen und mit Null gleichsetzen, können Sie Punkte finden, die die reelle Achse in Intervalle teilen.Auf jedem dieser Intervalle können Sie das Vorzeichen der Ableitung bestimmen und dann auf deren Zunahme oder Abnahme schließen.

* Getrennt davon sollte über die Punkte gesprochen werden, an denen die Ableitung nicht existiert. Beispielsweise können wir eine Ableitung erhalten, deren Nenner bei einem bestimmten x verschwindet. Es ist klar, dass für solche x die Ableitung nicht existiert. Dieser Punkt muss also auch bei der Bestimmung der Intervalle der Zunahme (Abnahme) berücksichtigt werden.

Die Funktion ändert an Punkten, an denen die Ableitung gleich Null ist, nicht immer ihr Vorzeichen. Dies wird ein separater Artikel sein. Bei der USE selbst wird es keine solchen Aufgaben geben.

Die obigen Eigenschaften sind notwendig, um das Verhalten einer Funktion beim Zunehmen und Abnehmen zu untersuchen.

Was Sie sonst noch wissen müssen, um die angegebenen Aufgaben zu lösen: die Ableitungstabelle und die Ableitungsregeln. Nichts ohne das. Das ist Grundwissen im Thema Derivate. Du solltest die Ableitungen elementarer Funktionen sehr gut kennen.

Berechnung der Ableitung einer komplexen Funktionf(g(x)), Stellen Sie sich die Funktion vorg(x) eine Variable ist und dann die Ableitung berechnenf’(g(x)) durch Tabellenformeln als gewöhnliche Ableitung einer Variablen. Dann multipliziere das Ergebnis mit der Ableitung der Funktiong(x) .

Sehen Sie sich ein Video-Tutorial von Maxim Semenikhin zu einer komplexen Funktion an:

Probleme beim Finden der maximalen und minimalen Punkte

Der Algorithmus zum Finden der maximalen (minimalen) Punkte der Funktion:

1. Finden Sie die Ableitung der Funktion f’(x).

2. Finden Sie die Nullstellen der Ableitung (indem Sie die Ableitung mit Null gleichsetzen f’(x)=0 und lösen Sie die resultierende Gleichung). Wir finden auch Punkte, an denen die Ableitung nicht existiert(insbesondere betrifft dies gebrochen-rationale Funktionen).

3. Wir markieren die erhaltenen Werte auf der Zahlenlinie und bestimmen die Vorzeichen der Ableitung in diesen Intervallen, indem wir die Werte aus den Intervallen in den Ableitungsausdruck einsetzen.

Die Ausgabe wird eine von zwei sein:

1. Der maximale Punkt ist der Punktbei dem die Ableitung von positiv nach negativ wechselt.

2. Der Minimalpunkt ist der Punktbei dem die Ableitung von negativ nach positiv wechselt.

Probleme beim Finden des größten oder kleinsten Werts

Funktionen im Intervall.

Bei einem anderen Problemtyp ist es erforderlich, den größten oder kleinsten Wert einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu finden.

Der Algorithmus zum Finden des größten (kleinsten) Funktionswerts:

1. Bestimmen Sie, ob es maximale (minimale) Punkte gibt. Dazu finden wir die Ableitung f’(x) , dann lösen f’(x)=0 (Punkte 1 und 2 aus dem vorherigen Algorithmus).

2. Wir stellen fest, ob die erhaltenen Punkte zu einem bestimmten Intervall gehören und schreiben die darin liegenden auf.

3. Wir setzen in die ursprüngliche Funktion (nicht in die Ableitung, sondern in die in der Bedingung gegebene) die Grenzen des gegebenen Intervalls und die innerhalb des Intervalls liegenden Punkte (Maximum-Minimum) ein (Punkt 2).

4. Wir berechnen die Werte der Funktion.

5. Wir wählen den größten (kleinsten) Wert aus den erhaltenen aus, je nachdem, welche Frage in der Aufgabe gestellt wurde, und schreiben dann die Antwort auf.

Frage: Warum ist es bei den Aufgaben, den größten (kleinsten) Wert einer Funktion zu finden, notwendig, nach maximalen (minimalen) Punkten zu suchen?

Die Antwort lässt sich am besten veranschaulichen, siehe eine schematische Darstellung der von den Funktionen gegebenen Graphen:

In den Fällen 1 und 2 reicht es aus, die Grenzen des Intervalls zu ersetzen, um den maximalen oder minimalen Wert der Funktion zu bestimmen. In den Fällen 3 und 4 müssen die Nullstellen der Funktion (Maximal-Minimum-Punkte) gefunden werden. Wenn wir die Grenzen des Intervalls ersetzen (ohne die Nullstellen der Funktion zu finden), erhalten wir die falsche Antwort, dies ist aus den Diagrammen ersichtlich.

Und die Sache ist die, dass wir mit einer bestimmten Funktion nicht sehen können, wie das Diagramm im Intervall aussieht (ob es ein Maximum oder ein Minimum innerhalb des Intervalls hat). Finden Sie deshalb unbedingt die Nullstellen der Funktion!!!

Wenn die Gleichung f'(x)=0 keine Lösung haben wird, bedeutet dies, dass es keine Maximum-Minimum-Punkte gibt (Abbildung 1.2), und um die gestellte Aufgabe zu finden, werden nur die Grenzen des Intervalls in diese Funktion eingesetzt.

Ein weiterer wichtiger Punkt. Denken Sie daran, dass die Antwort eine ganze Zahl oder eine letzte Dezimalzahl sein muss. Bei der Berechnung des größten und kleinsten Wertes einer Funktion erhalten Sie Ausdrücke mit den Zahlen e und pi sowie Ausdrücke mit einer Wurzel. Denken Sie daran, dass Sie sie nicht bis zum Ende berechnen müssen, und es ist klar, dass das Ergebnis solcher Ausdrücke nicht die Antwort sein wird. Wenn Sie einen solchen Wert berechnen möchten, tun Sie dies (Zahlen: e ≈ 2,71 Pi ≈ 3,14).

Ich habe viel geschrieben, wahrscheinlich verwirrt? An konkreten Beispielen werden Sie sehen, dass alles einfach ist.

Als nächstes möchte ich Ihnen ein kleines Geheimnis verraten. Tatsache ist, dass viele Aufgaben gelöst werden können, ohne die Eigenschaften der Ableitung zu kennen und sogar ohne die Ableitungsregeln. Ich werde Ihnen auf jeden Fall von diesen Nuancen erzählen und Ihnen zeigen, wie es gemacht wird? nicht verpassen!

Aber warum habe ich dann überhaupt die Theorie aufgestellt und auch gesagt, dass sie unbedingt bekannt sein muss. Das ist richtig - Sie müssen es wissen. Wenn Sie es verstehen, wird Sie keine Aufgabe in diesem Thema verwirren.

Diese „Tricks“, die Sie kennenlernen werden, helfen Ihnen bei der Lösung bestimmter (einiger) Prototypenprobleme. ZuAls zusätzliches Werkzeug sind diese Techniken natürlich bequem zu verwenden. Das Problem kann 2-3 mal schneller gelöst werden und spart Zeit für die Lösung von Teil C.

Alles Gute!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

In Aufgabe B9 ist ein Graph einer Funktion oder Ableitung gegeben, aus dem eine der folgenden Größen bestimmt werden muss:

1. Der Wert der Ableitung an einem Punkt x 0,
2. Hoch- oder Tiefpunkte (Extrempunkte),
3. Intervalle steigender und fallender Funktionen (Intervalle der Monotonie).

Die in diesem Problem vorgestellten Funktionen und Ableitungen sind immer stetig, was die Lösung stark vereinfacht. Obwohl die Aufgabe in den Bereich der mathematischen Analysis gehört, ist sie auch für schwächste Schüler durchaus machbar, da hier keine tiefen theoretischen Kenntnisse erforderlich sind.

Um den Wert der Ableitung, der Extrempunkte und der Monotonieintervalle zu finden, gibt es einfache und universelle Algorithmen - alle werden unten besprochen.

Lies dir die Bedingung von Aufgabe B9 genau durch, um keine dummen Fehler zu machen: Manchmal kommen recht umfangreiche Texte rüber, aber es gibt wenige wichtige Bedingungen, die den Verlauf der Lösung beeinflussen.

Berechnung des Wertes des Derivats. Zwei-Punkte-Methode

Wenn dem Problem ein Graph der Funktion f(x) gegeben wird, der diesen Graphen an einem Punkt x 0 tangiert, und es erforderlich ist, den Wert der Ableitung an diesem Punkt zu finden, wird der folgende Algorithmus angewendet:

1. Finden Sie zwei "geeignete" Punkte auf dem Tangentendiagramm: Ihre Koordinaten müssen ganzzahlig sein. Lassen Sie uns diese Punkte als A (x 1 ; y 1) und B (x 2 ; y 2) bezeichnen. Schreiben Sie die Koordinaten richtig auf - das ist der Schlüsselpunkt der Lösung, und jeder Fehler hier führt zu einer falschen Antwort.
2. Mit Kenntnis der Koordinaten ist es einfach, das Inkrement des Arguments Δx = x 2 − x 1 und das Inkrement der Funktion Δy = y 2 − y 1 zu berechnen.
3. Schließlich finden wir den Wert der Ableitung D = Δy/Δx. Mit anderen Worten, Sie müssen das Funktionsinkrement durch das Argumentinkrement dividieren - und dies wird die Antwort sein.

Wir halten noch einmal fest: Die Punkte A und B müssen genau auf der Tangente gesucht werden und nicht auf dem Graphen der Funktion f(x), wie es oft der Fall ist. Die Tangente wird zwangsläufig mindestens zwei solcher Punkte enthalten, sonst ist die Aufgabe falsch formuliert.

Betrachten Sie die Punkte A (−3; 2) und B (−1; 6) und finden Sie die Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Lassen Sie uns den Wert der Ableitung finden: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 3) und B (3; 0), finden Sie Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Jetzt finden wir den Wert der Ableitung: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y \u003d f (x) und die Tangente daran am Punkt mit der Abszisse x 0. Finde den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x 0 .

Betrachten Sie die Punkte A (0; 2) und B (5; 2) und finden Sie Inkremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Es bleibt der Wert der Ableitung zu finden: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Aus dem letzten Beispiel können wir die Regel formulieren: Wenn die Tangente parallel zur OX-Achse ist, ist die Ableitung der Funktion am Berührungspunkt gleich Null. In diesem Fall müssen Sie nicht einmal etwas berechnen - schauen Sie sich einfach die Grafik an.

Berechnung von Hochs und Tiefs

Manchmal wird in Aufgabe B9 anstelle eines Graphen einer Funktion ein Ableitungsgraph angegeben, und es ist erforderlich, den maximalen oder minimalen Punkt der Funktion zu finden. In diesem Szenario ist die Zweipunktmethode nutzlos, aber es gibt einen anderen, noch einfacheren Algorithmus. Lassen Sie uns zunächst die Terminologie definieren:

1. Der Punkt x 0 heißt Maximumpunkt der Funktion f(x), wenn in irgendeiner Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≥ f(x).
2. Der Punkt x 0 heißt Minimalpunkt der Funktion f(x), wenn in irgendeiner Umgebung dieses Punktes die folgende Ungleichung gilt: f(x 0) ≤ f(x).

Um die maximalen und minimalen Punkte im Graphen der Ableitung zu finden, genügt es, die folgenden Schritte auszuführen:

1. Zeichnen Sie den Graphen der Ableitung neu und entfernen Sie alle unnötigen Informationen. Wie die Praxis zeigt, stören zusätzliche Daten nur die Lösung. Deshalb markieren wir die Nullstellen der Ableitung auf der Koordinatenachse - und das war's.
2. Finden Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen Nullen heraus. Wenn für einen Punkt x 0 bekannt ist, dass f'(x 0) ≠ 0, dann sind nur zwei Möglichkeiten möglich: f'(x 0) ≥ 0 oder f'(x 0) ≤ 0. Das Vorzeichen der Ableitung ist leicht aus der Originalzeichnung zu bestimmen: liegt der Ableitungsgraph oberhalb der OX-Achse, dann ist f'(x) ≥ 0. Umgekehrt, liegt der Ableitungsgraph unterhalb der OX-Achse, dann ist f'(x) ≤ 0.
3. Wir überprüfen noch einmal die Nullstellen und Vorzeichen der Ableitung. Wo das Vorzeichen von Minus zu Plus wechselt, gibt es einen Minimalpunkt. Ändert sich umgekehrt das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus, ist dies der Maximalpunkt. Es wird immer von links nach rechts gezählt.

Dieses Schema funktioniert nur für stetige Funktionen - es gibt keine anderen in Problem B9.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−5; fünf]. Finde den Minimalpunkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns unnötige Informationen loswerden - wir werden nur die Grenzen verlassen [−5; 5] und die Nullstellen der Ableitung x = −3 und x = 2,5. Beachten Sie auch die Schilder:

Offensichtlich ändert sich an der Stelle x = −3 das Vorzeichen der Ableitung von minus nach plus. Dies ist der Mindestpunkt.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−3; 7]. Finden Sie den maximalen Punkt der Funktion f(x) auf diesem Segment.

Lassen Sie uns den Graphen neu zeichnen und nur die Grenzen [−3; 7] und die Nullstellen der Ableitung x = −1,7 und x = 5. Beachten Sie die Vorzeichen der Ableitung im resultierenden Diagramm. Wir haben:

Offensichtlich ändert sich am Punkt x = 5 das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus - dies ist der Maximalpunkt.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−6; 4]. Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f(x), die zum Intervall [−4; 3].

Aus den Bedingungen des Problems folgt, dass es ausreicht, nur den Teil des Graphen zu betrachten, der durch die Strecke [−4; 3]. Deshalb bauen wir einen neuen Graphen, auf dem wir nur die Grenzen markieren [−4; 3] und die darin enthaltenen Nullstellen der Ableitung. Nämlich die Punkte x = −3,5 und x = 2. Wir erhalten:

In diesem Diagramm gibt es nur einen maximalen Punkt x = 2. Darin ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von Plus nach Minus.

Eine kleine Anmerkung zu Punkten mit nicht ganzzahligen Koordinaten. Zum Beispiel wurde in der letzten Aufgabe der Punkt x = −3,5 betrachtet, aber mit dem gleichen Erfolg können wir x = −3,4 nehmen. Bei richtiger Problemformulierung sollten solche Änderungen die Antwort nicht beeinflussen, da die Punkte „ohne festen Wohnsitz“ nicht direkt an der Lösung des Problems beteiligt sind. Bei ganzzahligen Punkten funktioniert ein solcher Trick natürlich nicht.

Intervalle der Zunahme und Abnahme einer Funktion finden

Bei einem solchen Problem wird vorgeschlagen, wie bei den Punkten des Maximums und des Minimums, Bereiche zu finden, in denen die Funktion selbst aus dem Graphen der Ableitung zunimmt oder abnimmt. Lassen Sie uns zunächst definieren, was aufsteigend und absteigend ist:

1. Eine Funktion f(x) heißt auf einer Strecke wachsend, wenn für zwei beliebige Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke die Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Mit anderen Worten, je größer der Wert des Arguments, desto größer der Wert der Funktion.
2. Eine Funktion f(x) heißt fallend auf einer Strecke, wenn für je zwei Punkte x 1 und x 2 dieser Strecke die Aussage gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Jene. ein größerer Wert des Arguments entspricht einem kleineren Wert der Funktion.

Wir formulieren hinreichende Bedingungen für Zunahme und Abnahme:

1. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment zunimmt, genügt es, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments positiv ist, d.h. f'(x) ≥ 0.
2. Damit eine stetige Funktion f(x) auf dem Segment abnimmt, genügt es, dass ihre Ableitung innerhalb des Segments negativ ist, d.h. f'(x) ≤ 0.

Wir akzeptieren diese Behauptungen ohne Beweis. So erhalten wir ein Schema zum Auffinden von Zunahme- und Abnahmeintervallen, das in vielerlei Hinsicht dem Algorithmus zur Berechnung von Extrempunkten ähnelt:

1. Entfernen Sie alle redundanten Informationen. Auf dem ursprünglichen Graphen der Ableitung interessieren uns hauptsächlich die Nullstellen der Funktion, also lassen wir nur sie.
2. Markieren Sie die Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen zwischen den Nullen. Bei f'(x) ≥ 0 nimmt die Funktion zu und bei f'(x) ≤ 0 ab. Wenn das Problem Einschränkungen für die Variable x hat, markieren wir diese zusätzlich auf dem neuen Diagramm.
3. Nachdem wir nun das Verhalten der Funktion und der Einschränkung kennen, bleibt es, den erforderlichen Wert im Problem zu berechnen.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Intervall [−3; 7.5]. Finden Sie die Intervalle der fallenden Funktion f(x). Schreiben Sie in Ihre Antwort die Summe der ganzen Zahlen, die in diesen Intervallen enthalten sind.

Wie üblich zeichnen wir den Graphen neu und markieren die Grenzen [−3; 7.5], sowie die Nullstellen der Ableitung x = −1.5 und x = 5.3. Dann markieren wir die Vorzeichen der Ableitung. Wir haben:

Da die Ableitung im Intervall (− 1,5) negativ ist, ist dies das Intervall der abnehmenden Funktion. Es bleibt, alle ganzen Zahlen zu summieren, die sich innerhalb dieses Intervalls befinden:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Eine Aufgabe. Die Abbildung zeigt einen Graphen der Ableitung der Funktion f(x), die auf dem Segment [−10; 4]. Finden Sie die Intervalle der ansteigenden Funktion f(x). Schreiben Sie in Ihre Antwort die Länge des größten von ihnen.

Lassen Sie uns redundante Informationen loswerden. Wir lassen nur die Grenzen [−10; 4] und Nullstellen der Ableitung, die sich diesmal als vier herausstellte: x = −8, x = −6, x = −3 und x = 2. Beachten Sie die Vorzeichen der Ableitung und erhalten Sie das folgende Bild:

Uns interessieren die Intervalle zunehmender Funktion, d.h. wobei f'(x) ≥ 0. Es gibt zwei solche Intervalle in der Grafik: (−8; −6) und (−3; 2). Lassen Sie uns ihre Länge berechnen:
l 1 = – 6 – (–8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Da es erforderlich ist, die Länge des größten Intervalls zu finden, schreiben wir als Antwort den Wert l 2 = 5.